Вълнови свойства на частиците

Вълни на Дьо Бройл

Когато изучаваме свойствата на заобикалящите ни обекти, ние ги разглеждаме или като частици, или като вълни. Например билярдните топки имат свойствата на частици, които се движат по точно определени траектории и при удар обменят помежду си енергия. Водните вълни и звукът са типични примери за вълново движение. При фотоните обаче няма такава рязка граница между вълни и частици. От една страна, например при фотоефекта, фотоните проявяват свойствата на частици, т.е. на обособени обекти с точно определена енергия. От друга страна, те се характеризират с дължина на вълната и при светлината се наблюдават типично вълновите явления интерференция и дифракция.

В природата и в нейните закони съществува симетрия. След като фотоните съчетават свойствата на вълна и на частица, не следва ли да се очаква, че подобна двойственост е присъща на електроните и на другите микрочастици? През 1924 г. френският физик Луи дьо Бройл изказва смелата хипотеза, че всички форми на материята имат свойства както на частици, така и на вълни. Тези вълни са наречени вълни на материята или вълни на Дьо Бройл.

Дължина на вълната на Дьо Бройл

Според хипотезата на Дьо Бройл на частица с маса m, която се движи със скорост v, съответства вълна с дължина:

(1) [latex]λ = \dfrac{h}{mv}[/latex] дължина на вълната на Дьо Бройл

където h е константата на Планк.

Например дължината на вълната на Дьо Бройл на прашинка с маса m = 1.10^–10 kg, която се движи със скорост v = 1 mm/s, е:

[latex]λ = \dfrac{h}{mv} = \dfrac{6,63.10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{(1.10^{-10}\text{ kg})(1.10^{-3}\text{ m/s})} = 6,63.10^{-21}\text{ m}[/latex]

За да се потвърдят експериментално вълновите свойства на частиците, трябва при тях да се наблюдава дифракция – явление, което е характерно за всички вълни. Получената стойност за дължината на вълната на Дьо Бройл на прашинка обаче е около един милион пъти по-малка от радиуса на атомните ядра. Затова не съществува дифракционна решетка, от която да се наблюдава дифракция на подобни прашинки. Микрочастиците – електрони, неутрони, атоми и др., имат много по-малка маса m от макроскопичните тела. Затова тяхната дължина на вълната на Дьо Бройл l е много по-голяма (l µ 1/m) и вълновите им свойства може да се установят експериментално.

Опит на Дейвисън и Джърмър

Едно от първите експериментални доказателства на хипотезата на Дьо Бройл получават американските физици Клинтън Дейвисън и Лестър Джърмър. През 1927 г. те изследват разсейването на електрони от никелова мишена, поставена във вакуум. Двамата учени регистрират отразените от мишената електрони върху фотоплака и откриват, че на фотоплаката се наблюдава дифракционна картина, подобна на дифракционната картина, получена с рентгенови лъчи (фиг. 1). По разположението на дифракционните максимуми те определят дължината на вълната, която трябва да имат вълните на материята (на електроните), за да се получи такава дифракционна картина. Получените стойности напълно съответстват на предсказаната от Дьо Бройл дължина на вълната на електронните вълни. Скоро след това е наблюдавана дифракция на снопове от хелиеви ядра, водородни атоми и неутрони. Тези експерименти убедително доказват, че материята притежава вълнови свойства (фиг. 2).

Пример 1. Определете дължината на вълната на Дьо Бройл на частица с маса m и кинетична енергия E_k.

Решение. От формулата за кинетичната енергия E_k = mv²/2 изразяваме скоростта v на частицата [latex]v = \sqrt{\dfrac{2E_{\text{k}}}{m}}[/latex] и я заместваме във формулата за дължината на вълната на Дьо Бройл [latex]λ = \dfrac{h}{mv}[/latex]. Получаваме:

(2) [latex]λ = \dfrac{h}{\sqrt{2mE_{\text{k}}}}[/latex] дължина на вълната на Дьо Бройл

Пример 2. В опита на Дейвисън и Джърмър са използвани електрони, ускорени от напрежение U = 67 V. Колко нанометра е дължината на вълната на Дьо Бройл на тези електрони?

Решение. Електрoните първоначално са в покой. При ускоряването електричната им потенциална енергия се преобразува в кинетична енергия. От закона за запазване на енергията следва равенството [latex]\dfrac{mv^2}{2} = eU[/latex], откъдето изразяваме скоростта [latex]v = \sqrt{\dfrac{2eU}{m}}[/latex] на електроните и я заместваме във формулата за дължината на вълната на Дьо Бройл λ = h/(mv). Получаваме:

[latex]λ = \dfrac{h}{\sqrt{2emU}}[/latex]

Заместваме числените стойности и пресмятаме дължината на вълната на Дьо Бройл:

[latex]λ = \dfrac{6,63.10^{-34}\text{ J}\cdot\text{s}}{2(1,6.10^{-19}\text{ C})(9,11.10^{-31}\text{ kg})(67\text{ V})} = 1,5.10^{-10}\text{ m} = 0,15\text{ m}[/latex]