Множества и операции с тях
Множества, които познаваме
Множество на естествените числа:[latex]\\[/latex][latex]\N = 1, 2, 3, 4, ...[/latex]
Множество на целите числа:[latex]\\[/latex][latex]\Z = ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...[/latex]
Множество на рационалните числа:[latex]\\[/latex] [latex]\mathbb{Q}[/latex] = всички дроби [latex]\frac{p}{q}[/latex]
Примери за други множества са:
Множеството от десетте цифри:
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Множеството от първите 6 букви от българската азбука:
А, Б, В, Г, Д, Е
Множеството от всички двуцифрени числа:
10, 11, 12, ..., 98, 99
Множеството от буквите:
p, q, m, n
За означаване на множества обикновено се използват главни латински букви [latex]A, B, C, D[/latex] и т.н. Всички елементи на множеството се заграждат в скоби { }. Описаните по-горе множества се задават по следния начин:[latex]\\[/latex][latex]A[/latex] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
[latex]B[/latex] = {А, Б, В, Г, Д, Е}
[latex]C[/latex] = {10, 11, 12, …, 98, 99}
[latex]D[/latex] = {p, q, m, n}.
Записът 5 ∈ [latex]A[/latex] (четем 5 принадлежи на множеството [latex]A[/latex]) означава, че цифрата 5 е елемент на множеството [latex]A[/latex].
Записът 100 ∉ [latex]C[/latex] (четем 100 не принадлежи на множеството [latex]C[/latex]) означава, че числото 100 не е елемент на множеството [latex]C[/latex].
Всеки елемент на множеството [latex]A[/latex] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} е цяло число. Това означава, че [latex]A[/latex] е подмножество на [latex]\Z [/latex]. Записваме[latex]A[/latex] ⊂ [latex]\Z [/latex] .
Буквите [latex]\mathbb{N}[/latex], [latex]\mathbb{Z}[/latex] и [latex]\mathbb{Q}[/latex] са запазени за означаване на множествата на естествените, целите и рационалните числа.
Тези букви не се използват за означаване на други множества.
Изпълнено е: [latex]\mathbb{N}[/latex] ⊂ [latex]\mathbb{Z}[/latex] ⊂ [latex]\mathbb{Q}[/latex].
Задача 1.
[latex]A[/latex] = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
[latex]B[/latex] = {А, Б, В, Г, Д, Е}
[latex]C[/latex] = {10, 11, 12, …, 98, 99}
[latex]D[/latex] = {p, q, m, n}.
За множествата [latex]A, B, C[/latex] и [latex]D[/latex] определете кои от следните твърдения са верни: [latex]5\in A[/latex], [latex]И\in B[/latex], [latex]57\in C[/latex], [latex]C\subset \N [/latex], [latex]m\in D[/latex]?
Решение: Твърдението [latex]5\in A[/latex] е вярно.[latex]\\[/latex] Буквата [latex]И[/latex] не е от множеството [latex]B[/latex], твърдението [latex]И\in B[/latex] не е вярно. [latex]\\[/latex]Тъй като [latex]57[/latex] е двуцифрено число, то [latex]57\in C[/latex] е вярно. [latex]\\[/latex]Всички числа от множеството [latex]C[/latex] са естествени. Следователно [latex]C\subset \N [/latex] е вярно. [latex]\\[/latex]Твърдението [latex]m\in D[/latex] е вярно.
Обединение и сечение на множества
Множеството от елементи, които са или от множеството [latex]X[/latex], или от множеството [latex]Y[/latex] се нарича обединение на двете множества и се бележи с [latex]X \cup [/latex] [latex]Y[/latex]. [latex]\\[/latex]Например {2, 5, 8, 23} [latex]\cup[/latex] {5, 10, 15, 23} = {2, 5, 8, 10, 15, 23}.
Множеството от елементите, които са едновременно от множеството [latex]X[/latex] и от множеството [latex]Y[/latex], се нарича сечение на двете множества и се бележи с [latex]X[/latex] ∩ [latex]Y[/latex].
Например {2, 5, 8, 23} ∩ {5, 10, 15, 23} = {5, 23}.