Задача 2. Пресметнете.

а) [latex]5^6.\left(\frac{2}{5}\right)^5[/latex]

б) [latex]\left(\frac{1}{5}\right)^4.\left(\frac{5}{2}\right)^3[/latex] 

в) [latex]\left(\frac{2}{3}\right)^3.\left(\frac{3}{5}\right)^4.\left(\frac{5}{2}\right)^5[/latex] 

Решение: 
Първо степенуваме частните, а след това делим получените степени с равни основи.
а) [latex]5^6.\left(\frac{2}{5}\right)^5=5^6.\frac{2^5}{5^5}=\frac{\textcolor{red}{5^6}.2^5}{\textcolor{red}{5^5}}=[/latex]

[latex]=5^{6-5}.2^5=5.32=160[/latex]

б) [latex]\left(\frac{1}{5}\right)^4.\left(\frac{5}{2}\right)^3=\frac{1^4}{5^4}.\frac{5^3}{2^3}=[/latex]

[latex]=\frac{1}{5^{4-3}.2^3}=\frac{1}{5.8}=\frac{1}{40}[/latex]

в) [latex]\left(\frac{2}{3}\right)^3.\left(\frac{3}{5}\right)^4.\left(\frac{5}{2}\right)^5=\frac{2^3}{3^3}.\frac{3^4}{5^4}.\frac{5^5}{2^5}=[/latex]

[latex]=\frac{3^{4-3}.5^{5-4}}{2^{5-3}}=\frac{3.5}{2^2}=\frac{15}{4}[/latex]

Задача 3.

Пресметнете стойността на израза

[latex]A=\left(\frac{3\ .\ x}{2}\right)^3.\left(\frac{2}{x}\right)^2[/latex] при [latex]x=\frac{22^2}{11^2}[/latex].

Решение: Преобразуваме дадения израз, като степенуваме частните, а след това и произведението в числителя на първата дроб.

[latex]A=\left(\frac{3\ .\ x}{2}\right)^3.\left(\frac{2}{x}\right)^2=\frac{\textcolor{red}{(3.x)^3}}{2^3}.\frac{2^2}{x^2}=\frac{\textcolor{red}{3^3.x^3}}{2^3}.\frac{2^2}{x^2}[/latex]

Умножаваме и делим степените с равни основи.

[latex]A=\frac{3^3.\textcolor{red}{x^3}}{\textcolor{blue}{2^3}}.\frac{\textcolor{blue}{2^2}}{\textcolor{red}{x^2}}=\frac{3^3.x}{2}=\frac{27x}{2}[/latex].

При [latex]x=\frac{22^2}{11^2}=\left(\frac{22}{11}\right)^2=2^2=4[/latex] намираме [latex]A=\frac{27.4}{2}=54[/latex].

Задача 4. Намерете положителното число [latex]n[/latex] от равенството

[latex]n^4=6^5.\left(\frac{2}{3}\right)^9.\left(\frac{1}{2}\right)^{10}[/latex].

Решение: Първо опростяваме израза в дясната част на равенството. Степенуваме частните и делим степените с равни основи.

[latex]6^5.\left(\frac{2}{3}\right)^9.\left(\frac{1}{2}\right)^{10}=6^5.\frac{2^9}{3^9}.\frac{1^{10}}{2^{10}}=[/latex]

[latex]=\frac{6^5.\textcolor{red}{2^9}}{3^9.\textcolor{red}{2^{10}}}=\frac{6^5}{3^9.\textcolor{red}{2^1}}[/latex].

Представяме основата [latex]6[/latex] като произведение и го степенуваме.

[latex]\frac{\textcolor{red}{6^5}}{3^9.2}=\frac{\textcolor{red}{2^5.3^5}}{3^9.2}=\frac{2^{5-1}}{3^{9-5}}=\frac{2^4}{3^4}[/latex]

Даденото равенство се записва във вида [latex]n^4=\frac{2^4}{3^4}[/latex] и тъй като [latex]\frac{2^4}{3^4}=\left(\frac{2}{3}\right)^4[/latex], намираме [latex]n = \frac{2}{3}[/latex].