Положителни и отрицателни числа. Множеството на рационалните числа

Първият учебник по аритметика в Европа е отпечатан през 1478 г. в италианския град Тревизо. Той е практически наръчник, предназначен за самоподготовка и за ежедневна употреба на венецианските търговци. Освен изкуството на смятането, учебникът представя решенията на задачи от ежедневието.

В прогнозата за времето през зимата можем да чуем, че температурите ще паднат под нулата. Например, ако температурата е 4 градуса под нулата, записваме –4 градуса и четем минус четири градуса.

Кои числа са отрицателни?

 

За означаване на величини, които са по-малки от 0, се използват отрицателни числа.
Числата –4 и –10 911 са примери на отрицателни числа.
За записване на отрицателните числа се използва знакът минус (–).
Например –3 (минус три), –2,5 (минус две цяло и пет десети),
[latex]-\frac{3}{4}[/latex](минус три четвърти) и т.н.
Когато пред числото е поставен знак + или няма знак, това число е положително.
Записите + 5 и 5 означават едно и също число – положителното число 5.

 

 

Дефиниция

Отрицателните числа са по-малки от нула, а положителните са по-големи от нула. Всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно число. Нулата не е нито положително, нито отрицателно число.

 

 

Числата 1, 2, 3, 4,… образуват множеството на естествените числа. Това множество се бележи с [latex]\N [/latex] и:
[latex]\N =1, 2, 3,...[/latex]

Множеството на целите числа се състои от всички естествени числа, нулата и отрицателните числа –1, –2, –3 и т.н. Това множество се бележи се със [latex]\Z [/latex] и:
[latex]\Z =..., –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...[/latex]

 

Кое е множеството на рационалните числа?

 

Множеството на рационалните числа е множеството от всички дроби [latex]\frac{p}{q}[/latex] (положителни и отрицателни).
Например числата [latex]-3\frac{7}{8}[/latex] (минус 3 цяло и седем осми);

[latex]2{,}35=2\frac{35}{100}=\frac{235}{100}[/latex] (две цяло и 35 стотни); 11 (единадесет);

[latex]\frac{73}{125}[/latex] (седемдесет и три сто двадесет и пети) са рационални.

Множеството на рационалните числа се бележи с [latex]\mathbb{Q}[/latex] .

 

 

Определение

Всяко цяло число може да се запише като дроб със знаменател, равен на 1, например:
[latex]5=\frac{5}{1}, –7=–\frac{7}{1}[/latex] и т.н.
Следователно всяко цяло число е рационално.

 

Да се подготвим за външното оценяване

За любознателните

Положителни и отрицателни числа. Множеството на рационалните числа

Първият учебник по аритметика в Европа е отпечатан през 1478 г. в италианския град Тревизо.
Той е практически наръчник, предназначен за самоподготовка
и за ежедневна употреба на венецианските търговци.
Освен изкуството на смятането, учебникът представя решенията на задачи от ежедневието.

Ето една от задачите, които са решавали търговците от XV век:
Фунт и половина шафран струват два и една трета дуката. Колко струва унция и четвърт шафран?
(Един фунт е равен на 12 унции.)


В прогнозата за времето през зимата можем да чуем, че температурите ще паднат под нулата. Например, ако температурата е 4 градуса под нулата, записваме –4 градуса и четем минус четири градуса.

Най-високият връх на земята е Еверест с височина 8848 метра. Това означава, че Еверест е на височина 8848 метра над морското равнище. Най-дълбокото място в океана е Марианската падина – тя е на дълбочина 10 911 метра под морското равнище. Ако морското равнище приемем за нулева дълбочина, то Марианската падина се намира на –10 911 метра
(четем минус 10 911 метра).

За означаване на величини, които са по-малки от 0, се използват отрицателни числа.
Числата –4 и –10 911 са примери на отрицателни числа.
За записване на отрицателните числа се използва знакът минус (–).
Например –3 (минус три), –2,5 (минус две цяло и пет десети),
[latex]-\frac{3}{4}[/latex](минус три четвърти) и т.н.
Когато пред числото е поставен знак + или няма знак, това число е положително.
Записите + 5 и 5 означават едно и също число – положителното число 5.

Отрицателните числа са по-малки от нула, а положителните са по-големи от нула. Всяко положително число е по-голямо от всяко отрицателно число.
Нулата не е нито положително, нито отрицателно число.

 

Запишете с положително или отрицателно число:
а) температура от 3 градуса под нулата;
б) дълг от 35 лева;
в) дълбочина от 150 метра под морското равнище;
г) температура от 25 градуса над нулата.

Решение:
а) – 3 градуса;
б) – 35 лева;
в) – 150 метра;
г) + 25 или 25 градуса.

 

Числата 1, 2, 3, 4,… образуват множеството на естествените числа.
Това множество се бележи с [latex]\N [/latex] и:
[latex]\N =1, 2, 3,...[/latex]
Множеството на целите числа се състои от всички
естествени числа, нулата и отрицателните числа –1, –2, –3 и т.н.
Това множество се бележи се със [latex]\Z [/latex] и:
[latex]\Z =..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 ...[/latex]

Множеството на рационалните числа е множеството от всички
дроби [latex]\frac{p}{q}[/latex] (положителни и отрицателни).
Например числата [latex]-3\frac{7}{8}[/latex] (минус 3 цяло и седем осми);

[latex]2{,}35=2\frac{35}{100}=\frac{235}{100}[/latex] (две цяло и 35 стотни); 11 (единадесет);

[latex]\frac{73}{125}[/latex] (седемдесет и три сто двадесет и пети) са рационални.

Множеството на рационалните числа се бележи с [latex]\mathbb{Q}[/latex] .

Всяко цяло число може да се запише като дроб със знаменател, равен на 1, например:
[latex]5=\frac{5}{1}, -7=-\frac{7}{1}[/latex] и т.н.
Следователно всяко цяло число е рационално.

За всяко от числата –2; 0; 2,5; [latex]-\frac{7}{11}[/latex] и 110 определете дали
числото е положително, отрицателно, цяло или рационално.
Решение:
Удобно е да представим решението в таблица.

Задачи