Обикновени дроби
Обикновени дроби
Преди около 40 000 години математиците в Древен Египет владеели изкуството да смятат с обикновени дроби. Египтяните записвали по специален начин дробите с числител 1. Тези дроби се наричат египетски и някои от тях са показани на папируса. Останалите дроби египтяните представяли като сбор на различни египетски дроби. Например дробта [latex]\frac{5}{6}[/latex] е сбор на [latex]\frac{1}{2}[/latex] и [latex]\frac{1}{3}[/latex] и се записва като 
.
Опитайте да запишете дробта [latex]\frac{7}{8}[/latex] с помощта на египетски дроби.
Дробите са велико изобретение на човечеството. С тяхна помощ може да се запише частното на всеки две естествени числа. Например: [latex]7:9=\frac{7}{9}.[/latex]
Дробта [latex]\frac{7}{9}[/latex] представя част от цяло, която се получава, като цялото се раздели на 9 еднакви части и се вземат 7 от тях. Числото 7 над дробната черта се нарича числител, а числото 9 под дробната черта – знаменател на дробта.
[latex]\frac{\textcolor{red}{a}}{\textcolor{blue}{b}}[/latex] [latex]\frac{\longleftarrow}{\longleftarrow}[/latex] [latex]\frac{\textcolor {red}{числител}}{\textcolor {blue}{знаменател}}[/latex]
Дроб с числител, който е по-малък от знаменателя, се нарича [latex]\textcolor{blue}{правилна}[/latex]. Дроб, която не е правилна, се нарича [latex]\textcolor{red}{неправилна}[/latex].
[latex]1>\begin{cases} \frac{0}{7} \\ \frac{1}{3} \\ \frac{2}{5} \end{cases}[/latex]
правилни дроби
[latex]1\le \begin{cases} \frac{7}{7} \\ \frac{3}{1} \\ \frac{5}{2} \end{cases}[/latex]
неправилни дроби
Неправилните дроби могат да се запишат като смесени числа.
Например [latex]\frac{9}{7}=1\frac{2}{7}[/latex].
Смесените числа могат да се запишат като неправилни дроби.
Например [latex]5\frac{2}{3}=\frac{5.3+2}{3}=\frac{17}{3}[/latex].
Основното свойство на дробите е, че ако числителя и знаменателя на една дроб умножим или разделим с едно и също число, различно от нула, дробта не се променя. Например
[latex]\frac{3}{5}=\frac{6}{10}=\frac{9}{15}=\frac{12}{20}=\frac{15}{25}=\ldots [/latex].
Умножаването на числителя и знаменателя с едно и също число се нарича разширяване на дробта, а разделянето им на едно и също число – съкращаване.
Разширяване
[latex]\overset{2}{\overset{\smile}{\frac{3}{5}}} =\frac{3.2}{5.2}= \frac{6}{10}[/latex]
Съкращаване
[latex]\frac{\overset{2}{\cancel{12}}}{\underset{5}{\cancel{30}}}=\frac{2}{5}[/latex]
От две дроби с равни знаменатели по-голяма е тази, която има по-голям числител.
От две дроби с равни числители по-голяма е тази, която има по-малък знаменател.
Събиране и изваждане на обикновени дроби
Дроби с равни знаменатели събираме (изваждаме), като съберем (извадим) техните числители, а знаменателят остава същият.
Дроби с различни знаменатели събираме или изваждаме, като първо ги приведем към общ знаменател.
Събиране
[latex]\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}[/latex]
Изваждане
[latex]\frac{a}{c}-\frac{b}{c}=\frac{a-b}{c}[/latex]
Задача 2.
Каква част от правоъгълника на чертежа е оцветена в бяло?
Решение: Частта от правоъгълника на чертежа, която е оцветена в жълт или зелен цвят, е
[latex]\underbrace{\overset{4}{\overset{\smile}{\frac{1}{6}}}+\overset{3}{\overset{\smile}{\frac{5}{8}}}}_{\text{24}}=\frac{4}{24}+\frac{15}{24}=\frac{19}{24}[/latex]
Следователно бялата част от правоъгълника е
[latex]1-\frac{19}{24}=\frac{24}{24}-\frac{19}{14}=\frac{5}{24}.[/latex]
Умножение и деление на обикновени дроби
Произведението на обикновени дроби е дроб с числител, равен на произведението на числителите, и знаменател, равен на произведението на знаменателите на множителите.
Частното на две дроби е равно на произведението на делимото с реципрочното число на делителя.
Умножение
[latex]\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a\ .\ c}{b\ .\ d}[/latex]
Деление
[latex]\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{c}=\frac{a\ .\ d}{b\ .\ c}[/latex]