Обем на прав кръгов конус
В практиката често се налага да се пресмята вместимостта на съдове с конична форма, както и масата на тела с форма на конус. При решаване на такива задачи е необходимо да се знае как се намира обем на конус.
На фигурата са изобразени правилни пирамиди и конус. Вижда се, че колкото повече се увеличава броят на върховете при основата на пирамидата, толкова повече тя прилича на конус. По форма основата ѝ се доближава до кръг, а самата пирамида – до конус с основа този кръг.
Височините на разглежданите пирамиди и на конуса са равни. Знаем, че обемът на пирамида се намира по формулата [latex]V =\frac{B.h}{3}[/latex]. Обема на конуса ще намираме по същия начин. Лицето на основата на конуса ще пресмятаме по формулата [latex]B = \pi.r^2.[/latex]
Обемът на конус се пресмята по формулата [latex]V =\frac{1}{3}.\pi.r^2.h[/latex] или [latex]V =\frac{\pi.r^2.h}{3}[/latex].
Задача 1. Намерете обема на конус с радиус [latex]r[/latex], диаметър [latex]d[/latex] и височина [latex]h[/latex], ако:
а) [latex]r = 2\operatorname{cm}, h = 6\operatorname{cm}[/latex]; б) [latex]r = 3\operatorname{cm}, h = 7\operatorname{dm}[/latex]; в) [latex]d = 11\operatorname{cm}, h = 2\operatorname{dm}[/latex];
г) [latex]d = h = 4\operatorname{cm}[/latex]; д) [latex]r = 3\operatorname{dm}, h[/latex] е [latex]60\%[/latex] от [latex]r[/latex].
Решение. а) Заместваме във формулата за обем на конус и получаваме
[latex]V=\frac{1}{3} . \pi . 2^{2} . 6=8 . \pi=8.3{,}14, \quad V=8 . \pi \; \mathrm{cm}^{3}=25{,}12\; \mathrm{cm}^{3}[/latex]
Задача 2.
В магазин продават на една и съща цена течен шоколад на две различни фирми във фунийки с форма на конус. Коя фирма продава по-евтино, ако фунийките на първата са с диаметър [latex]10\operatorname{cm}[/latex] и височина [latex]12\operatorname{cm}[/latex], а на втората – с диаметър [latex]9\operatorname{cm}[/latex] и височина [latex]13\operatorname{cm}[/latex]?
Решение. Нека [latex]V_1[/latex] е обемът на фунийките на първата фирма, а [latex]V_2[/latex] е обемът на фунийките на втората. Тогава [latex]V_{1}=\frac{\pi .5^{2} . 12}{3}=100 . \pi\; \mathrm{cm}^{3},[/latex] a [latex]V_{2}=\frac{\pi .4{,}5^{2} . 13}{3}=87{,}75 . \pi\; \mathrm{cm}^{3}[/latex]
[latex]V_1 > V_2[/latex], следователно първата фирма продава шоколада по-евтино.
Задача 3. Как ще се измени обемът на конус, ако:
а) радиусът му се увеличи [latex]3[/latex] пъти;
б) височината му се увеличи [latex]3[/latex] пъти;
в) радиусът му се увеличи [latex]2[/latex] пъти, а височината му се намали [latex]2[/latex] пъти?
Задача 4. Колко литра е вместимостта на съд с форма на конус с радиус [latex]12\operatorname{cm}[/latex] и височина [latex]1\operatorname{m}[/latex] (с точност до [latex]0{,}1\operatorname{L}[/latex])?
Решение. Ще изразим дадените дължини в дециметри.
[latex]r = 12\operatorname{cm} = 1{,}2\operatorname{dm}; h = 1\operatorname{m} = 10\operatorname{dm}[/latex];
[latex]V=\frac{\pi . r^{2} . h}{3}=\frac{\pi . 1{,}2^{2} . 10}{3}, V=15{,}072\; \mathrm{dm}^{3} \approx 15{,}1\; \mathrm{L}[/latex]
Задача 5.
Остроъгълният триъгълник [latex]ABC[/latex] има страна [latex]AB = 12\operatorname{cm}[/latex] и височина към нея [latex]CH = 5\operatorname{cm}[/latex]. Намерете обема на тялото, получено при завъртането на триъгълника около страната [latex]AB[/latex].
Решение. При завъртането на [latex]\triangle ABC[/latex] около [latex]AB[/latex] се получава тяло, съставено от два конуса с обща основа и еднакви радиуси, които са равни на височината [latex]CH[/latex] на триъгълника. Тогава
[latex]V=\frac{\pi . r^{2} . A H}{3}+\frac{\pi . r^{2} . B H}{3}=\frac{\pi .25 . (A H+B H)}{3}=\frac{\pi . 25 . 12}{3}=100 . \pi[/latex],
[latex]V=314\; \mathrm{cm}^{3}[/latex]