В триъгълника [latex]ABC[/latex] е построена височината [latex]CH = 24[/latex] m. Ако [latex]AH = 7[/latex] m, а [latex]HB = 10[/latex] m, намерете обиколката на триъгълника [latex]ABC[/latex].

Решение: [latex]\\[/latex]По питагоровата теорема за правоъгълните триъгълници [latex]AHC[/latex] и [latex]BHC[/latex] имаме:

[latex]AC^2=7^2+24^2=49+576=625=25^2[/latex]

[latex]BC^2=10^2+24^2=100+576=676=26^2[/latex]

Следователно [latex]AC = 25[/latex] m, [latex]BC = 26[/latex] m и обиколката на триъгълника [latex]ABC[/latex] е равна на [latex]17 + 25 + 26 = 68[/latex] m.

В правоъгълния триъгълник [latex]ABC[/latex] с катети [latex]AC = 15[/latex] cm и [latex]BC = 20[/latex] cm е построена височината [latex]CH[/latex]. Намерете хипотенузата [latex]AB[/latex], височината [latex]CH[/latex] и отношението на отсечките [latex]AH : BH[/latex].

Решение: Хипотенузата [latex]AB[/latex] намираме по питагоровата теорема за правоъгълния триъгълник [latex]ABC[/latex]:
[latex]AB^2 =15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625 = 5^4 = (5^2)^2 = 25^2[/latex], откъдето следва, че [latex]AB = 25[/latex] cm.
От формулата за лице на правоъгълен триъгълник
[latex]S=\frac {a.b}{2}=\frac{c.h_c}{2}[/latex] следва равенството [latex]a.b =c.h_c[/latex]. Оттук
[latex]15\ .\ 20 =25\ .\ CH[/latex]. Следователно [latex]CH=\frac{15.20}{25}=12[/latex].
Отсечката [latex]CH[/latex] е катет в правоъгълния триъгълник [latex]ACH[/latex], за който по питагоровата теорема имаме
[latex]AH^2+12^2=15^2[/latex], т.е. [latex] AH^2=225-144=81=9^2[/latex].
Оттук [latex]AH = 9[/latex] m, [latex]BH = 25 -9 = 16[/latex] m и намираме отношението [latex]AH : BH = 9 :16[/latex].

Прав кръгов конус има диаметър 16 m и височина 15 m. Намерете образуващата на конуса и лицето на повърхнината му.

Решение: Образуващата [latex]l[/latex] на конуса е хипотенуза в триъгълник, чиито катети са височината [latex]h = 15[/latex] m и радиусът [latex]r = 16:2 = 8[/latex] m на конуса. По питагоровата теорема намираме [latex]l^2 =15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289 =17^2[/latex]. [latex]\\[/latex]Следователно [latex]l = 17[/latex] m.
Лицето на повърхнината на конуса е равно на
[latex]S=\pi r(l+ r)= \pi.8(17+8)=200.\pi[/latex] m².

Решение: Да означим [latex]BC = x[/latex] cm. Тогава [latex]AB = x + 6[/latex] и за обиколката на правоъгълника имаме равенството [latex]2x + 2(x + 6)= 84[/latex].
Решаваме полученото уравнение
[latex]2x + 2x +12 = 84,  4x = 84 -12,  4x = 72,  x =18[/latex]
и намираме, че [latex]BC = 18[/latex] cm, а [latex]AB = 24[/latex] cm.
Хипотенузата [latex]AC[/latex] в правоъгълния триъгълник [latex]ABC[/latex] намираме по питагоровата теорема
[latex]AC^2 =18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900 = 30^2[/latex].
Получихме, че [latex]AC = 30[/latex] cm.