108. Лице на четириъгълник
Задача 1
В четириъгълника [latex]ABCD[/latex] диагоналът [latex]AC[/latex] е [latex]12[/latex] cm. Разстоянията от върховете [latex]D[/latex] и [latex]B[/latex] до [latex]AC[/latex] са съответно [latex]3[/latex] cm и [latex]5[/latex] cm. Намерете лицето на четириъгълника.
Решение
[latex]AC[/latex] разделя четириъгълника на два триъгълника [latex]ABC[/latex] и [latex]ADC[/latex].
Затова [latex]S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}[/latex]. От [latex]S_{ABC}=\frac{12.5}{2}=30[/latex] и [latex]S_{ADC}=\frac{12.3}{2}=18[/latex], т.е.
[latex]S_{ABC} = 30[/latex] cm2 и [latex]S_{ADC} = 18[/latex] cm2.
Получаваме [latex]S_{ABCD}=30+18=48[/latex], [latex]S_{ABCD} = 48[/latex] cm2.
Всеки четириъгълник се разделя от свой диагонал на два триъгълника. Лицето на четириъгълника е сбор от лицата на двата триъгълника.
[latex]S=S_1+S_2[/latex] или [latex]S=S_3+S_4[/latex]
Задача 2
Намерете лицата на четириъгълниците на чертежа, ако дължините са дадени в дециметри.
Задача 3
Намерете лицата на четириъгълниците, начертани в квадратната мрежа.
Задача 4
Диагоналите на четириъгълника [latex]ABCD[/latex] са перпендикулярни. Ако [latex]AC=15[/latex] cm и [latex]BD=12[/latex] cm, намерете лицето на [latex]ABCD[/latex].
Решение
[latex]S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{ADC}[/latex] [latex]=\frac{AC.BO}{2}+\frac{AC.DO}{2}[/latex] [latex]=\frac{AC}{2}(BO+DO)[/latex],
[latex]S_{ABCD}=\frac{AC.BD}{2}[/latex] [latex]=\frac{15.12}{2}=90[/latex], [latex]S_{ADCB}=90[/latex] cm2.
Лицето на четириъгълник с перпендикулярни диагонали [latex]d_1[/latex] и [latex]d_2[/latex]
се намира по формулата
[latex]S=\frac{d_1.d_2}{2}[/latex].