Сбор на ъглите в триъгълник
За да намерим градусната мярка на ъгъл, използваме транспортир. Ако измерим ъглите на един триъгълник и съберем получените мерки, в зависимост от това колко точно сме правили измерванията, ще получим точно 180° или сбор, близък до 180°.
Ще докажем следната:
Теорема. Сборът на градусните мерки на ъглите в триъгълник е 180°.
Доказателство. Нека в [latex]\small \bigtriangleup A B C [/latex] [latex]\small\sphericalangle C A B=\alpha, \;\sphericalangle C B A=\beta[/latex] и [latex]\small \sphericalangle ACB = \gamma[/latex]. През върха [latex]\small C[/latex] построяваме права [latex]\small p[/latex], успоредна на [latex]\small AB [/latex] (фиг. 1). Тогава, като кръстни ъгли, [latex]\small \sphericalangle PCA =\alpha, \; \sphericalangle QCB = \beta[/latex], а [latex]\small \sphericalangle PCQ =\alpha+\beta+\gamma[/latex]. Но [latex]\small \sphericalangle PCQ =180^\circ[/latex] като изправен ъгъл. Следователно [latex]\small\alpha+\beta+\gamma=180^\circ[/latex].
С помощта на тази зависимост между ъглите на триъгълник, ако са ни известни два от ъглите, можем да намерим третия.
От теоремата лесно получаваме две следствия.
Следствие 1. Сборът на острите ъгли в правоъгълен триъгълник е 90°.
Доказателство. Нека в [latex]\small \bigtriangleup A B C [/latex] [latex]\small\sphericalangle C A B=\alpha, \;\sphericalangle C B A=\beta[/latex] и [latex]\small \sphericalangle ACB = 90^\circ[/latex]. Тогава [latex]\small \alpha+\beta+90^{\circ}=180^{\circ}\Rightarrow\alpha+\beta=90^{\circ}[/latex].
Следствие 2. В триъгълник най-много един ъгъл е прав или тъп.
Доказателство. Допускаме, че в [latex]\small \bigtriangleup A B C [/latex] [latex]\small\alpha=90^\circ[/latex] и [latex]\small \beta=90^\circ[/latex]. Тогава [latex]\small \gamma=0^\circ[/latex], което е невъзможно.
Допускаме, че в [latex]\small \bigtriangleup A B C [/latex] [latex]\small\alpha>90^\circ[/latex] и [latex]\small \beta>90^\circ[/latex]. Тогава [latex]\small\alpha+\beta+\gamma>180^\circ[/latex], което е невъзможно.
Аналогично се разглежда случая [latex]\small\alpha>90^\circ[/latex] и [latex]\small \beta=90^\circ[/latex].
Задача 1.
В [latex]\small \bigtriangleup ABC[/latex] мерките на ъглите при върховете [latex]\small A, \; B[/latex] и [latex]\small C[/latex] се отнасят както [latex]\small 2:3:4[/latex]. Намерете ъглите на триъгълника.
В [latex]\small \bigtriangleup ABC[/latex] мерките на ъглите при върховете [latex]\small A, \; B[/latex] и [latex]\small C[/latex] се отнасят както [latex]\small 2:3:4[/latex]. Намерете ъглите на триъгълника.
Решение. Означаваме [latex]\small \sphericalangle CAB = 2\alpha[/latex]. Тогава [latex]\small \sphericalangle CBA =3\alpha[/latex] и [latex]\small \sphericalangle ACB = 4\alpha[/latex]. От теоремата получаваме, че [latex]\small2 \alpha+3 \alpha+4 \alpha=180^{\circ} \Leftrightarrow 9 \alpha=180^{\circ} \Leftrightarrow \alpha=20^{\circ}[/latex] [latex]\small \Rightarrow \sphericalangle CAB =40^{\circ}[/latex], [latex]\small \sphericalangle CBA = 60^{\circ}[/latex] и [latex]\small \sphericalangle ACB =80^{\circ}[/latex].
Задача 2.
Даден е правоъгълен триъгълник [latex]\small \bigtriangleup ABC[/latex] с [latex]\small \sphericalangle ACB = 90^{\circ}[/latex], [latex]\small \sphericalangle ACB =\alpha[/latex] и височина към хипотенузата [latex]\small CH[/latex]. Да се намерят [latex]\small \sphericalangle ABC[/latex] , [latex]\small \sphericalangle BCH[/latex] и [latex]\small \sphericalangle ACH[/latex].
Решение. В [latex]\small \bigtriangleup A B C\quad\sphericalangle A C B=90^{\circ},\quad\sphericalangle C A B=\alpha\; \Rightarrow[/latex] [latex]\small\sphericalangle A B C=90^{\circ}-\alpha[/latex].
В [latex]\small \bigtriangleup B C H\quad \sphericalangle H B C=90^{\circ}-\alpha,\; \sphericalangle C H B=90^{\circ}\; \Rightarrow[/latex] [latex]\small \sphericalangle B C H=90^{\circ}-\left(90^{\circ}-\alpha\right)=\alpha[/latex].
В [latex]\small \bigtriangleup A C H\quad\sphericalangle H A C=\alpha,\; \sphericalangle C H A=90^{\circ}\; \Rightarrow[/latex] [latex]\small \sphericalangle A C H=90^{\circ}-\alpha[/latex].
Задача 3.
Ъглополовящите [latex]\small AL_1[/latex] и [latex]\small BL_2[/latex] на [latex]\small \bigtriangleup ABC[/latex] се пресичат в точка [latex]\small L[/latex]. Ако [latex]\small \sphericalangle ACB = \gamma[/latex], намерете [latex]\small \sphericalangle ALB[/latex].
Решение. Нека означим [latex]\small \sphericalangle CAB =\alpha\; \sphericalangle CBA =\beta[/latex]. Тъй като [latex]\small AL_1[/latex] и [latex]\small BL_2[/latex] са ъглополовящи съответно на[latex]\small \sphericalangle CAB[/latex] и [latex]\small \sphericalangle CBA[/latex], то [latex]\small \sphericalangle B A L=\frac{1}{2} \alpha,\;\sphericalangle A B L=\frac{1}{2} \beta[/latex]. От [latex]\small \frac{1}{2} \alpha+\frac{1}{2} \beta+\sphericalangle A L B=180^{\circ}[/latex] [latex]\small \Rightarrow\sphericalangle A L B=180^{\circ}-\frac{1}{2}(\alpha+\beta)[/latex]. Но [latex]\small \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ} \Rightarrow[/latex] [latex]\small \quad\frac{1}{2}(\alpha+\beta)=\frac{1}{2}\left(180^{\circ}-\gamma\right)[/latex] [latex]\small \; \Rightarrow\sphericalangle A L B=90^{\circ}+\frac{1}{2} \gamma[/latex].