78. Решаване на равнобедрен и на правоъгълен трапец

Преди да разгледаме задачи за приложение на метричните зависимости за намиране на елементи на трапец (основи, диагонали, ъгли, радиуси на вписана и на описана окръжност, лице и др.), да припомним важни факти за трапеца.

Всеки трапец, вписан в окръжност, е равнобедрен.
В равнобедрен трапец височината, спусната от връх на малката основа, дели голямата основа на отсечки с дължини, равни на полуразликата и на полусбора на основите.

1. Трапецът [latex]ABCD[/latex] с бедро [latex]BC = \sqrt{6}[/latex] е вписан в окръжност с диаметър [latex]AB = 6[/latex]. Да се намерят [latex]AC, CD[/latex] и лицето на трапеца.
Решение: Трапецът [latex]ABCD[/latex] е вписан и следователно е равнобедрен. Тъй като [latex]AB[/latex] е диаметър на окръжността, то [latex]\sphericalangle{ACB}=90^{\circ}[/latex] и нека [latex]CH[/latex] е височината на трапеца.

От правоъгълния [latex]ΔABC[/latex] намираме: [latex]BC^2= BH.AB\Leftrightarrow BH=\frac{BC^2}{AB}=\frac{6}{6}=1,[/latex] [latex]AH=AB-BH=5[/latex] и [latex]CH^2=AH.HB =5, CH = \sqrt{5}.[/latex]
В [latex]ΔAHC[/latex] [latex]AC^2=AH^2+HC^2=25+5=30[/latex] и [latex]AC =\sqrt{30}.[/latex]
От [latex]AH=\frac{AB+CD}{2}=5[/latex] намираме [latex]CD=2AH-AB=2.5-6=4[/latex] и [latex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}.CH=5\sqrt{5}.[/latex]

2. Да се намерят височината и диагоналът на равнобедрен трапец с основи [latex]AB = 50[/latex] cm, [latex]CD = 10[/latex] cm и бедро [latex]AD = 29[/latex] cm.
Решение: Означаваме [latex]AB = a, CD = b,[/latex] [latex]DH = h[/latex] – височината на трапеца, и [latex]BD = d[/latex] – неговия диагонал.

Тогава [latex]AH=\frac{a-b}{2}=\frac{50-10}{2}=20,[/latex] [latex]BH=\frac{a+b}{2}=\frac{50+10}{2}=30[/latex]
и от правоъгълните [latex]ΔAHD[/latex] и [latex]ΔBHD[/latex] намираме:
[latex]h^2=AD^2-AH^2=29^2-20^2=49.9=21^2[/latex] и [latex]h = 21[/latex] cm;
[latex]d^2=h^2+BH^2=21^2+30^2=3^2(7^2+10^2)=149.9[/latex] и [latex]d = 3\sqrt{149}[/latex] cm.

3. Окръжност с радиус [latex]6[/latex] cm е вписана в равнобедрен трапец, малката основа на който е равна на [latex]4[/latex] cm. Да се намери лицето на трапеца.
Решение: Нека в трапеца [latex]ABCD[/latex] с основи [latex]AB = a[/latex] и [latex]CD = 4[/latex] построим височината [latex]DH = 2r = 12.[/latex] Тогава [latex]AH=\frac{a-4}{2}, AD=\frac{a+4}{2}[/latex]
(трапецът е описан и [latex]AB+CD=2AD[/latex]).

От питагоровата теорема в [latex]ΔAHD[/latex] намираме:
[latex]AD^2-AH^2=DH^2\Leftrightarrow\frac{(a+4)^2}{4}-\frac{(a-4)^2}{4}=144[/latex] [latex]\Leftrightarrow[/latex] [latex]16a=4.144\Leftrightarrow a=36.[/latex]
За лицето на трапеца получаваме [latex]S=\frac{AB+CD}{2}.DH=\frac{36+4}{2}.12=240[/latex] cm².

4. Даден е правоъгълен трапец [latex]ABCD[/latex] [latex](\sphericalangle{BAD}=90^{\circ})[/latex] с основи [latex]AB = 6,[/latex] [latex]CD = 2[/latex] и бедро [latex]BC = 5[/latex]. Да се намерят дължините на диагоналите на трапеца.
Решение: Построяваме [latex]CH \perp AB.[/latex]
Четириъгълникът [latex]AHCD[/latex] е правоъгълник, [latex]AH = CD = 2[/latex] и [latex]AD = CH = h[/latex].

От питагоровата теорема за [latex]ΔBCH, ΔACD[/latex] и [latex]ΔABD[/latex] намираме:
[latex]h^2=BC^2-BH^2=25-16=9,[/latex] [latex]AC^2=h^2+CD^2=9+4=13[/latex] и [latex]BD^2=h^2+AB^2=9+36=45.[/latex]
Следователно [latex]AC = \sqrt{13}[/latex] и [latex]BD =\sqrt{45} = 3\sqrt{5}.[/latex]

5. В трапец [latex]ABCD[/latex] с основи [latex]AB = 3[/latex] cm, [latex]CD = 1[/latex] cm и [latex]\sphericalangle{ABC}=90^{\circ}[/latex] е вписана окръжност. Да се намерят лицето на трапеца и радиусът на окръжността.
Решение: Построяваме [latex]DH ⊥ AB[/latex] и нека [latex]BC = h = 2r.[/latex]
От [latex]AB + CD = AD + BC[/latex] изразяваме [latex]AD = 4 - h.[/latex]

От [latex]ΔAHD[/latex] намираме [latex]AD^2=AH^2+DH^2\Leftrightarrow (4-h)^2=4+h^2\Leftrightarrow h =\frac{3}{2}[/latex] cm и [latex]r =\frac{3}{4}[/latex]cm, [latex]S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}.h=\frac{3+1}{2}\cdot\frac{3}{2}=3[/latex] cm².