56. Подобни триъгълници. Обобщение
1. Ученик с височина [latex]160[/latex] cm застанал на разстояние [latex]5[/latex] m от улична лампа. Намерете височината на лампата, ако сянката на ученика е [latex]2{,}5[/latex] m.
Решение: На чертежа е показан геометричният аналог на дадената задача:
Продълженията на бедрата на правоъгълен трапец [latex]ABCD[/latex] се пресичат в точка [latex]E[/latex]. Ако [latex]EA = 2{,}5[/latex] m, [latex]AB = 5[/latex] m и [latex]AD = 1{,}60[/latex] m, да се намери [latex]BC[/latex]. Тъй като [latex]ΔEAD \sim ΔEBC[/latex], получаваме: [latex]\frac{EA}{AD}=\frac{EB}{BC}\Leftrightarrow \frac{2{,}5}{1{,}6}=\frac{7{,}5}{BC}[/latex].
Следователно височината на лампата е [latex]BC = 4{,}8[/latex] m.
2. Даден е [latex]ΔABC[/latex] със страни [latex]AB = 16[/latex] cm, [latex]BC = 20[/latex] cm, [latex]AC = 12[/latex] cm. Точка [latex]D[/latex] върху страната [latex]AB[/latex] е такава, че [latex]AD = 9[/latex] cm. Да се намери дължината на отсечката [latex]CD[/latex].
Решение: Триъгълниците [latex]ABC[/latex] и [latex]ACD[/latex] имат общ ъгъл при върха [latex]A[/latex]. Освен това [latex]\frac{AB}{AC}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}[/latex] и [latex]\frac{AC}{AD}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}[/latex].
От втори признак за подобност на триъгълници получаваме, че [latex]ΔABC \sim ΔACD[/latex] с коефициент на подобие [latex]k =\frac{4}{3}[/latex]. Тъй като [latex]BC[/latex] и [latex]CD[/latex] са съответни страни в тези два триъгълника, то [latex]\frac{BC}{CD}=\frac{4}{3}[/latex], откъдето намираме [latex]CD = \frac{3}{4}BC =\frac{3}{4}.20=15[/latex] cm.
3. Продълженията на бедрата [latex]AD[/latex] и [latex]BC[/latex] на трапец [latex]ABCD[/latex] се пресичат в точка [latex]P[/latex]. Ако лицето на [latex]ΔDCP[/latex] е [latex]45[/latex] cm2 и [latex]AD : DP = 5 : 3[/latex] да се намери лицето на трапеца.
Решение: Тъй като [latex]AB \parallel CD[/latex], то [latex]ΔABP \sim ΔDCP[/latex]. От [latex]AD : DP = 5 : 3[/latex] следва, че [latex]AD = 5x[/latex], а [latex]DP = 3x[/latex] и коефициентът на подобие е равен на [latex]\frac{AP}{DP}=\frac{8x}{3x}=\frac{8}{3}[/latex]. Следователно
[latex]\frac{S_{ABP}}{S_{DCP}}=\left(\frac{8}{3}\right)^2=\frac{64}{9}[/latex], откъдето пресмятаме [latex]S_{ABP}=\frac{64}{9}S_{DCP}=320[/latex] cm2. За лицето на трапеца получаваме:
[latex]S_{ABCD} = S_{ABP} - S_{DCP} = 320 - 45 [/latex]
[latex]S_{ABCD} = 275[/latex] cm2.
4. В правоъгълен [latex]ΔABC[/latex] с хипотенуза [latex]AB[/latex] е построена височината [latex]CH[/latex].
а) Да се докаже, че
[latex]\frac{AH}{BH}=\frac{AC^2}{BC^2}[/latex].
б) Ако точка [latex]L[/latex] е средата на отсечката [latex]CH[/latex] и точка [latex]T[/latex] е средата на отсечката [latex]BH[/latex], да се докаже [latex]AL[/latex] и [latex]CT[/latex] са перпендикулярни.
Решение: а) Тъй като [latex]\sphericalangle{BCH} = 90° - \sphericalangle{ABC} = \sphericalangle{BAC}[/latex], то [latex]ΔAHC \sim ΔCHB[/latex] по първи признак за подобност на триъгълници. За коефициента на подобие между двата триъгълника имаме [latex]k=\frac{AC}{BC}[/latex], откъдето намираме [latex]\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=k^2=\frac{AC^2}{BC^2}[/latex].
Като използваме, че [latex]S_{AHC}=\frac{AH.CH}{2}[/latex] и [latex]S_{CHB}=\frac{BH.CH}{2}[/latex],
получаваме [latex]\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{AH}{BH}[/latex]. Следователно [latex]\frac{AH}{BH}=\frac{S_{AHC}}{S_{CHB}}=\frac{AC^2}{BC^2}[/latex].
б) Нека [latex]\sphericalangle{BAC} = α[/latex] и [latex]\sphericalangle{ABC} = β[/latex], където [latex]α + β = 90°[/latex].
Тъй като [latex]\sphericalangle{ACH} = 90° - α = β[/latex] и [latex]\sphericalangle{BCH} = 90° - β = α[/latex],
то [latex]ΔAHC \sim ΔCHB[/latex] по първи признак за подобност на триъгълници.
Понеже [latex]AL[/latex] и [latex]CT[/latex] са съответни медиани, то [latex]\sphericalangle{HAL} = \sphericalangle{HCT}[/latex].
Ако [latex]AL[/latex] и [latex]CT[/latex] се пресичат в точка [latex]S[/latex], то [latex]ΔAHL[/latex] и [latex]ΔCSL[/latex] имат по два равни ъгъла.
Следователно [latex]\sphericalangle{CSL} = \sphericalangle{AHL} = 90°[/latex].