85. Намиране на елементи на правоъгълен триъгълник
Като използваме тригонометричните функции и метричните зависимости в правоъгълен триъгълник, можем да намираме различни негови елементи (страни и ъгли), т.е. можем да решаваме правоъгълен триъгълник. Навсякъде в задачите ще използваме стандартните означения за елементите на триъгълниците.
Задача 1.
Даден е правоъгълен триъгълник [latex]ABC[/latex] с хипотенуза [latex]AB=13[/latex] cm и [latex]\sin \alpha=\frac{5}{13}[/latex]. Да се намерят катетите, височината [latex]h_c[/latex] към хипотенузата и лицето на триъгълника.
Решение. За [latex]\triangle ABC[/latex] по определение и от условието имаме [latex]\sin \alpha=\frac{BC}{AB}=\frac{5}{13}[/latex], откъдето [latex]BC=\frac{5}{13}AB=5[/latex], [latex]BC=5[/latex] cm. От питагоровата теорема намираме [latex]AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{13^2-5^2}=12[/latex], [latex]AC=12[/latex] cm.
От правоъгълния [latex]\triangle AHC[/latex] имаме [latex]\frac{h_c}{AC}=\sin \alpha\Rightarrow h_c=AC\sin \alpha\Rightarrow h_c=12.\frac{5}{13}=\frac{60}{13}[/latex], [latex]h_c=\frac{60}{13}[/latex] cm.
За лицето [latex]S[/latex] намираме [latex]S=\frac{1}{2}AC.AB=\frac{1}{2}.12.5=30[/latex], [latex]S=30[/latex] cm2.
Задача 2.
Даден е правоъгълен триъгълник с катет [latex]a[/latex] и ъгъл [latex]\alpha[/latex]. Да се изразят чрез [latex]a[/latex] и [latex]\alpha[/latex] другият катет, хипотенузата и височината към хипотенузата.
Решение. От [latex]\triangle ABC[/latex] имаме [latex]\frac{b}{a}=\cotg \alpha[/latex], откъдето [latex]b=a\cotg \alpha[/latex]. От [latex]\sin \alpha=\frac{a}{c}[/latex] намираме [latex]c=\frac{a}{\sin \alpha}[/latex]. От [latex]\triangle AHC[/latex] имаме [latex]\frac{h_c}{b}=\sin \alpha[/latex], т.е. [latex]h_c=b\sin \alpha[/latex]. Тъй като [latex]b=a\cotg \alpha[/latex], [latex]h_c=a\cotg \alpha\sin \alpha=a\cos \alpha[/latex]. Височината може да се намери и от [latex]\triangle BCH[/latex], понеже [latex]\sphericalangle BCH=\alpha[/latex].
Задача 3.
Даден е правоъгълен триъгълник с катет [latex]b=4[/latex] и [latex]\sin \alpha=\frac{3}{5}[/latex]. Да се намерят другият катет, хипотенузата и радиусът на вписаната окръжност.
Решение. От [latex]\sin ^2\alpha+\cos ^2\alpha=1[/latex] и [latex]\cos \alpha>0[/latex] намираме [latex]\cos \alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\Big(\frac{3}{5}\Big)^2}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}[/latex]. От [latex]\triangle ABC[/latex] имаме [latex]\frac{b}{c}=\cos \alpha[/latex], [latex]c=\frac{b}{\cos \alpha}[/latex], откъдето [latex]c=5[/latex]. От [latex]a=c\sin \alpha[/latex] намираме [latex]a=3[/latex]. От формулата [latex]r=\frac{1}{2}(a+b-c)[/latex] получаваме [latex]r=\frac{1}{2}(3+4-5)=1[/latex], т.е. [latex]r=1[/latex].
Задача 4.
Даден е правоъгълен триъгълник с катет [latex]a[/latex] и [latex]\tg \alpha=2[/latex]. Да се намерят другият катет, хипотенузата и лицето на триъгълника.
Решение. Нека в [latex]\triangle ABC[/latex] [latex]\sphericalangle ACB=90\degree[/latex], [latex]BC=a[/latex] и [latex]\tg \alpha=2[/latex]. От [latex]\frac{a}{b}=\tg \alpha[/latex] намираме [latex]b=\frac{a}{2}[/latex]. От питагоровата теорема получаваме [latex]c^2=a^2+b^2=a^2+\Big(\frac{a}{2}\Big)^2=\frac{5a^2}{4}[/latex], откъдето [latex]c=\frac{a\sqrt{5}}{2}[/latex].
За лицето на триъгълника намираме [latex]S=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{4}a^2[/latex].
Задача 5.
Даден е правоъгълен триъгълник с катети [latex]\sqrt{6}[/latex] и [latex]3\sqrt{2}[/latex]. Да се намерят ъглите на триъгълника и радиусът на вписаната окръжност.
Решение. От определението за тангенс имаме [latex]\tg \alpha=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}[/latex], откъдето намираме [latex]\alpha=30\degree[/latex]. Тогава [latex]c=2BC=2\sqrt{6}[/latex]. За радиуса на вписаната окръжност получаваме
[latex]r=\frac{1}{2}(a+b-c)=\frac{1}{2}(\sqrt{6}+3\sqrt{2}-2\sqrt{6})=[/latex] [latex]\frac{1}{2}(3\sqrt{2}-\sqrt{6})[/latex].