77. Решаване на равнобедрен и правоъгълен трапец
Задача 1. Даден е равнобедреният трапец [latex]ABCD[/latex] с основи [latex]AB=17[/latex], [latex]DC=5[/latex] и бедра [latex]AD=BC=10[/latex]. Да се намерят лицето и диагоналите му.
Решение. За да намерим лицето на трапеца, трябва да намерим височината му.
Построяваме височините [latex]CC_1[/latex] и [latex]DD_1[/latex]. Тъй като [latex]ABCD[/latex] е равнобедрен трапец, то [latex]\triangle ADD_1\cong\triangle BCC_1[/latex]. Четириъгълникът [latex]CDD_1C_1[/latex] е правоъгълник, откъдето [latex]D_1C_1=b=5[/latex] и [latex]AD_1=BC_1=\frac{1}{2}(AB-CD)=6[/latex].
От правоъгълния [latex]\triangle ADD_1[/latex] по теоремата на Питагор получаваме, че [latex]DD_1=\sqrt{AD^2-AD_1^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8[/latex].
Следователно за лицето на трапеца имаме [latex]S=\frac{AB+CD}{2}.DD_1=\frac{17+5}{2}.8=88[/latex].
Построяваме диагонала [latex]AC[/latex]. Доказахме, че [latex]BC_1=\frac{1}{2}(AB-CD)[/latex]. Следователно [latex]AC_1=AB-\frac{1}{2}(AB-CD)[/latex]
[latex]AC_1=\frac{1}{2} (AB+CD)=11[/latex].
От правоъгълния [latex]\triangle ACC_1[/latex] по теоремата на Питагор получаваме, че [latex]AC=\sqrt{AC^2_1+CC^2_1}=\sqrt{11^2+8^2}=\sqrt{185}[/latex]. Знаем, че в равнобедрения трапец диагоналите са равни. Следователно [latex]AC=BD=\sqrt{185}[/latex].
Задача 2. Даден е правоъгълен трапец [latex]ABCD[/latex] с основи [latex]AB=9[/latex], [latex]DC=4[/latex], бедро [latex]BC=13[/latex] и [latex]\sphericalangle DAB=90\degree[/latex]. Да се намерят бедрото [latex]AD[/latex] и диагоналите му.
Решение. Построяваме височината [latex]CC_1[/latex]. Получаваме правоъгълния [latex]\triangle BCC_1[/latex] и правоъгълника [latex]AC_1CD[/latex] [latex](\sphericalangle DAB=90\degree)[/latex]. Тогава [latex]AC_1=DC=4[/latex] и [latex]BC_1=AB-AC_1=5[/latex].
От правоъгълния [latex]\triangle BCC_1[/latex] по теоремата на Питагор получаваме, че [latex]CC_1=\sqrt{BC^2-BC^2_1}=\sqrt{13^2-5^2}=12[/latex].
Но [latex]AC_1CD[/latex] е правоъгълник, следователно [latex]AD=CC_1=12[/latex]. От правоъгълния [latex]\triangle ABD[/latex] намираме, че диагоналът [latex]BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{9^2+12^2}=15[/latex], а от правоъгълния [latex]\triangle ACD[/latex] намираме, че диагоналът [latex]AC=\sqrt{CD^2+AD^2}=\sqrt{4^2+12^2}=\sqrt{160}=4\sqrt{10}[/latex].