84. Окръжност, описана около триъгълник

Симетралата на една отсечка е права, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна на нея. Точките от симетралата са на равни разстояния от краищата на
отсечката.

Теорема 1. За всеки триъгълник [latex]ABC[/latex] симетралите на трите му страни [latex]AB, BC[/latex] и [latex]CA[/latex] се пресичат в една точка. Тази точка е център на описаната около триъгълника [latex]ABC[/latex] окръжност.

Доказателство:
Да означим с [latex]O[/latex] пресечната точка на симетралите на отсечките [latex]AB[/latex] и [latex]BC[/latex].
Тъй като [latex]O[/latex] е от симетралата на [latex]AB[/latex] имаме [latex]OA=OB[/latex].
Освен това точка [latex]O[/latex] е от симетралата на отсечката [latex]BC[/latex], откъдето [latex]OB=OC[/latex].
Следователно [latex]OA=OB=OC[/latex], т.е. точка [latex]O[/latex] е равноотдалечена от върховете на триъгълника [latex]ABC[/latex]. Това означава, че [latex]O[/latex] лежи на симетралата на отсечката [latex]CA[/latex] и е център на описаната около триъгълника [latex]ABC[/latex] окръжност.

Центърът на описаната около триъгълник окръжност е пресечна точка на симетралите на страните му. Радиусът на описаната окръжност се бележи с [latex]R[/latex].

1. Да се докаже, че центърът на описаната окръжност за правоъгълен триъгълник е средата на хипотенузата.

Решение: Знаем, че за всеки правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата е равна на половината от дължината на хипотенузата. Това означава, че
[latex]MA=MB=MC[/latex],
т.е. точката [latex]M[/latex] е център на описаната окръжност за триъгълника [latex]ABC[/latex].

2. Даден е триъгълникът [latex]ABC[/latex] с център на описаната окръжност точка [latex]O[/latex]. Да се докаже, че:
а) ако триъгълникът [latex]ABC[/latex] е остроъгълен, точка [latex]O[/latex] е вътрешна точка за триъгълника;
б) ако триъгълникът [latex]ABC[/latex] е тъпоъгълен, точка [latex]O[/latex] е външна точка за триъгълника.

Решение: а) Тъй като триъгълникът е остроъгълен, всеки от ъглите му е по-малък от [latex]90 \degree[/latex]. Това означава, че дъгата [latex]\overgroup{AB}[/latex] е по-малка от [latex]180 \degree[/latex]. Следователно точките [latex]O[/latex] и [latex]C[/latex] лежат в една и съща полуравнина спрямо правата [latex]AB[/latex].
По същия начин получаваме, че точките [latex]O[/latex] и [latex]B[/latex] лежат в една и съща полуравнина спрямо правата [latex]AC[/latex] и точките [latex]O[/latex] и [latex]A[/latex] лежат в една и съща полуравнина спрямо правата [latex]BC[/latex]. Това означава, че [latex]O[/latex] е вътрешна точка за триъгълника [latex]ABC[/latex].

б) Нека например [latex]\sphericalangle{ACB}> 90°[/latex]. Тогава дъгата [latex]\overgroup{AB}[/latex], несъдържаща точка [latex]C[/latex], е по-голяма от [latex]180°[/latex]. Това означава, че точките [latex]O[/latex] и [latex]C[/latex] лежат в различни полуравнини спрямо правата [latex]AB[/latex], т.е. [latex]O[/latex] е външна за триъгълника [latex]ABC[/latex].

3. Даден е триъгълник [latex]ABC[/latex] с ъгли [latex]\sphericalangle{BAC}=\alpha[/latex], [latex]\sphericalangle{ABC}=\beta[/latex], [latex]\sphericalangle{ACB}=\gamma[/latex] и център на описаната окръжност точка [latex]O[/latex]. Да се докаже, че [latex]\sphericalangle{BOC}=2\alpha[/latex], [latex]\sphericalangle{AOC}=2\beta[/latex] и [latex]\sphericalangle{AOB}=2\gamma[/latex].
Решение: Ъгъл [latex]AOB[/latex] е централен ъгъл, който се измерва с дъгата [latex]\overgroup{AB}[/latex].
Ъгъл [latex]ACB[/latex] е вписан ъгъл, който се измерва със същата дъга. Тъй като
вписаният ъгъл е два пъти по-малък от съответния му централен ъгъл,
то [latex]\sphericalangle{AOB}=2\gamma[/latex]. Аналогично [latex]\sphericalangle{BOC}=2\alpha[/latex] и [latex]\sphericalangle{AOC}=2\beta[/latex].

5. За триъгълник [latex]ABC[/latex] е дадено [latex]γ = 55°[/latex]. Точка [latex]O[/latex] е вътрешна за триъгълника, лежи на симетралата на страната [latex]AB[/latex] и ъгъл [latex]AOB[/latex] е равен на [latex]110°[/latex]. Да се докаже, че [latex]O[/latex] е център на вписаната окръжност за триъгълника [latex]ABC[/latex].