36. Квадратно уравнение. Непълни квадратни уравнения
Квадратно уравнение
В 7. клас решавахме уравнения от вида [latex]ax + b = 0[/latex] и [latex](ax + b)(cx + d ) = 0[/latex] при [latex]a ≠ 0[/latex] и [latex]c ≠ 0[/latex].
Уравненията от първия вид се наричат линейни, а тези от втория вид – квадратни.
Квадратни са уравненията [latex]x^2+ 3x = 0, x^2 - 4 = 0[/latex] и [latex]4x^2-4x-3=0[/latex].
За да решим квадратни уравнения от посочения вид, използваме знанията си за разлагане на многочлени на множители.
[latex]x^2+3x=0\Leftrightarrow x(x+3)=0[/latex] с корени [latex]x_1=0[/latex], [latex]x_2=-3[/latex];
[latex]x^2-4=0\Leftrightarrow (x+2)(x-2)=0[/latex] с корени [latex]x_1=-2[/latex], [latex]x_2=2[/latex];
[latex]4x^2-4x-3=0\Leftrightarrow 4x^2-4x+1-4\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\left(2x-1\right)^{2}-2^2\Leftrightarrow (2x+1)(2x-3)=0[/latex]
с корени [latex]x_1=-\frac{1}{2}, x_2=\frac{3}{2}[/latex].
КВАДРАТНО УРАВНЕНИЕ
Уравнение от вида [latex]ax^2+bx+c=0[/latex], [latex]a\neq0[/latex] се нарича квадратно уравнение,
а числата [latex]a[/latex], [latex]b[/latex] и [latex]c[/latex] се наричат коефициенти на уравнението.
Коефициентът [latex]a[/latex] се нарича още старши коефициент, а коефициентът [latex]c[/latex] – свободен член.
Ето някои квадратни уравнения и съответните им коефициенти:
[latex]x^2+4x = 0\; (a =1, b = 4, c = 0);[/latex]
[latex]2x^2-3 = 0\; (a =2, b = 0, c = -3);[/latex]
[latex]-2x^2+3x-1 = 0\; (a =-2, b = 3, c = -1);[/latex]
[latex]5-8x+3x^2= 0\; (a =3, b = -8, c = 5)[/latex].
Ето някои квадратни уравнения и съответните им коефициенти:
[latex]x^2+4x = 0\; (a =1, b = 4, c = 0);[/latex]
[latex]2x^2-3 = 0\; (a =2, b = 0, c = -3);[/latex]
[latex]-2x^2+3x-1 = 0\; (a =-2, b = 3, c = -1);[/latex]
[latex]5-8x+3x^2= 0\; (a =3, b = -8, c = 5)[/latex].
Ако някой от коефициентите [latex]b[/latex] или [latex]c[/latex] е равен на нула, квадратното уравнение се нарича непълно.
При [latex]a \neq 0[/latex] уравненията [latex]ax^2+c=0, \;ax^2+bx=0[/latex] и [latex]ax^2 = 0[/latex] са непълни квадратни уравнения.
Решаване на непълни квадратни уравнения
При [latex]b = c = 0[/latex] квадратното уравнение приема вида [latex]ax^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0[/latex] и има единствен корен [latex]x = 0[/latex].
Примери:
[latex]3x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0\Leftrightarrow x = 0;[/latex]
[latex]-\sqrt{2}x^2=0 \Leftrightarrow x^2 = 0\Leftrightarrow x = 0[/latex].
При [latex]c = 0, b \neq 0[/latex], от [latex]ax^2+bx=0\Leftrightarrow x(ax+ b)=0[/latex] намираме решенията [latex]x_1=0,\;x_2=-\frac{b}{a}[/latex].
Примери:
[latex]3x^2-2x=0\Leftrightarrow x(3x-2)=0\Leftrightarrow x_1=0,\;x_2=\frac{2}{3};[/latex]
[latex]\sqrt{2}x^2-2x=0\Leftrightarrow x(\sqrt{2}x-2)=0\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow x_1=0,\;x_2=\frac{2}{\sqrt{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}.[/latex]
При [latex]b = 0, c \neq 0[/latex] уравнението [latex]ax^2+c=0[/latex] представяме във вида [latex]ax^2=-c \Leftrightarrow x^2=-\frac{c}{a}[/latex] или [latex]x^2=A[/latex], където [latex]A=-\frac{c}{a}[/latex].
Като вземем предвид, че [latex]x^2 \ge 0[/latex], то при [latex]A < 0[/latex] уравнението [latex]x^2 = A[/latex] няма решение [latex](x\in \varnothing)[/latex], a при [latex]A > 0[/latex] решенията на [latex]x^2=A[/latex] са [latex]x_{1,2}= ±\sqrt{A}[/latex].
Примери: [latex]2x^2+5=0\Leftrightarrow x^2=-\frac{5}{2}\Leftrightarrow x\in \varnothing;[/latex]
[latex]4x^2-5=0\Leftrightarrow x^2=\frac{5}{4}\Leftrightarrow x_{1,2}= ±\sqrt{\frac{5}{4}}=±\frac{\sqrt{5}}{2}[/latex].
1. Да се реши уравнението:
а) [latex](2x-1)^2=0{,}5(2-3x);[/latex]
б) [latex](x -1)^2 = 2(4 - x).[/latex]
Решение:
а) [latex](2x-1)^2=0{,}5(2-3x)\Leftrightarrow 4x^2-4x+1=1-1{,}5x\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow 4x^2-2{,}5x=0 \Leftrightarrow x(4x-2{,}5)=0\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow x_1=0, x_2=\frac{2{,}5}{4}=\frac{2{,}5.2}{2.4}=\frac{5}{8}[/latex]
б) [latex](x -1)^2 = 2(4 - x)\Leftrightarrow x^2-2x+1=8-2x\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow x^2=7\Leftrightarrow x_{1,2}= ±\sqrt{7}[/latex].
2. Да се реши уравнението:
а) [latex]y^2=2;\quad[/latex] б) [latex](x-1)^2=2;\quad[/latex] в) [latex](3x-5)^2=2.[/latex]
2. Да се реши уравнението:
а) [latex]y^2=2;\quad[/latex] б) [latex](x-1)^2=2;\quad[/latex] в) [latex](3x-5)^2=2.[/latex]
Решение:
а) [latex]y^2=2 \Leftrightarrow y_{1,2}= ±\sqrt{2}[/latex]
б) [latex](x-1)^2=2\Leftrightarrow y^2=2[/latex], където [latex]y=x-1[/latex].
Но [latex]y = ±\sqrt{2}[/latex] и от [latex]x-1 = ±\sqrt{2}[/latex] намираме [latex]x_{1,2} =1 ±\sqrt{2}[/latex].
в) [latex](3x-5)^2=2\Leftrightarrow 3x-5=±\sqrt{2}\Leftrightarrow\\ \Leftrightarrow 3x=5±\sqrt{2}\Leftrightarrow x_{1,2} =\frac{5 ±\sqrt{2}}{3}[/latex].
Задачи
2. Решете непълното квадратно уравнение.
а) [latex]9x^2 -1 = 0[/latex]
б) [latex]x^2 -x = 0[/latex]
в) [latex]3x^2 +2\sqrt{3}x = 0[/latex]
г) [latex]\sqrt{7}+2x^2=0[/latex]
д) [latex]3x^2 =x[/latex]
2. Отговор.
а) [latex]x_{1,2}= ±\frac{1}{3}[/latex]
б) [latex]x_1 = 0, x_2=1[/latex]
в) [latex]x_1 = 0, x_2=-\frac{2\sqrt{3}}{3}[/latex]
г) [latex]x\in \varnothing[/latex]
д) [latex]x_1 = 0, x_2=\frac{1}{3}[/latex]
Допълнителни задачи