27. Ирационални числа. Квадратен корен

Множество на естествените числа: 1, 2, 3, 4, …
Това са числата, с които броим. Множеството на естествените числа се бележи с [latex]\mathbb{N}[/latex],
като [latex]\mathbb{N}[/latex] = {[latex]1;2;3;...[/latex]}.

Множество на целите числа: … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
Множеството на целите числа се получава, като към множеството на естествените числа прибавим нулата и отрицателните цели числа. Множеството на целите числа се бележи със [latex]\mathbb{Z}[/latex], като [latex]\mathbb{Z}[/latex] = {[latex]0;\pm1;\pm2;\pm3;...[/latex]}.
Някои математици приемат, че нулата също е естествено число.

Всяко цяло число може да се запише като дроб със знаменател [latex]1[/latex]. Следователно всяко цяло число е рационално. Това означава, че множеството на целите числа [latex]\mathbb{Z}[/latex] е подмножество на множеството на рационалните числа [latex]\mathbb{Q}[/latex]. Можем да запишем [latex]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}[/latex].

Има числа, които не са рационални. Те не могат да се представят във вида [latex]\frac{p}{q}[/latex], където [latex]p[/latex] е цяло, а [latex]q \neq 0[/latex] е естествено число. Те се наричат ирационални числа. Това са всички безкрайни, десетични, непериодични дроби и множеството им се означава с [latex]\mathbb{I}[/latex]. От числата, които познаваме, ирационално е числото [latex]\pi[/latex]:

[latex]\pi = 3{,}1415926535897932384626433832795…[/latex],

като редицата от цифри след десетичната запетая продължава безкрай.

Множеството на реалните числа се състои от всички рационални и ирационални числа и се бележи с [latex]\mathbb{R}[/latex], като [latex]\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}[/latex].

Знаем как се повдига на втора степен.

Например [latex]4^2=16,\; 5^2  = 25,\; \left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9},\; \left(0{,}7\right)^ 2 =0{,}49[/latex].

Обратно, ако знаем, че числото [latex]a[/latex] е получено след повдигане на втора степен на положителното число [latex]x[/latex], можем ли да намерим числото [latex]x[/latex]?
Трябва да решим уравнението [latex]x^2=a[/latex], където [latex]a ≥ 0[/latex] е дадено число. В този случай записваме [latex]x=\sqrt[]{a}[/latex] и четем „хикс е равно на корен квадратен от [latex]a[/latex]“.

Знакът [latex]\sqrt{\; \;}[/latex] се нарича радикал. Числото, което се намира под радикала, се нарича подкоренна величина.
Намирането на числото [latex]x[/latex] се нарича коренуване.
Операцията коренуване е обратна на операцията степенуване.
За всяко неотрицателно число [latex]a[/latex] е изпълнено равенството [latex]\sqrt{a^2}=a[/latex].

1.  Пресметнете квадратните корени.
а) [latex]\sqrt{4}\quad[/latex] б) [latex]\sqrt{9}\quad[/latex] в) [latex]\sqrt{49}\quad[/latex] г) [latex]\sqrt{\frac{16}{25}}[/latex]

Решение: а) Тъй като [latex]2^2= 4[/latex], то [latex]\sqrt{4}=2[/latex].
б) От [latex]3^2= 9[/latex] следва, че [latex]\sqrt{9}=3[/latex].
в) [latex]\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7[/latex] г) [latex]\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}[/latex]

4. Запишете:
а) естествено число;
б) цяло число, което не е естествено;
в) рационално число, което не е цяло;
г) ирационално число.