25. Ирационални числа. Квадратен корен
Основните числови множества
Множество на естествените числа: 1, 2, 3, 4, …
Това са числата, с които броим. Множеството на естествените числа се бележи с [latex]\mathbb{N}[/latex].
Множество на целите числа: … –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …
Множеството на целите числа се получава, като към множеството на естествените числа прибавим нулата и отрицателните цели числа. Множеството на целите числа се бележи със [latex]\mathbb{Z}[/latex].
Някои математици приемат, че нулата също е естествено число.
Множество на рационалните числа. Това са числата от вида [latex]\frac{p}{q}[/latex], където [latex]p[/latex] и [latex]q \neq 0[/latex] са цели числа. Множеството на рационалните числа се бележи с [latex]\mathbb{Q}[/latex].
Например числата [latex]\frac{1}{2}, \frac{4}{7}, -\frac{23}{7}, \frac{5}{23}[/latex] са рационални.
Името рационални числа (rational numbers) произлиза от думата ratio (отношение).
Рационални са числата, които могат да се представят като отношение на две цели числа.
Всяко цяло число може да се запише като дроб със знаменател [latex]1[/latex]. Следователно всяко цяло число е рационално. Това означава, че множеството на целите числа [latex]\mathbb{Z}[/latex] е подмножество на множеството на рационалните числа [latex]\mathbb{Q}[/latex]. Можем да запишем [latex]\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}[/latex].
Има числа, които не са рационални. Те не могат да се представят във вида [latex]\frac{p}{q}[/latex], където [latex]p[/latex] и [latex]q \neq 0[/latex] са цели числа. Те се наричат ирационални числа.
От числата, които познаваме, ирационално е числото [latex]\pi[/latex]:
[latex]\pi = 3{,}1415926535897932384626433832795…[/latex],
като редицата от цифри след десетичната запетая продължава безкрай.
Множеството на реалните числа се състои от всички рационални и ирационални числа и се бележи с [latex]\mathbb{R}[/latex].
Квадратен корен
Знаем как се повдига на втора степен.
Например [latex]4^2=16,\; 5^2 = 25,\; \left(\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9},\; \left(0{,}7\right)^ 2 =0{,}49[/latex].
Обратно, ако знаем, че числото [latex]a[/latex] е получено след повдигане на втора степен на положителното число [latex]x[/latex], можем ли да намерим числото [latex]x[/latex]?
Трябва да решим уравнението [latex]x^2=a[/latex], където [latex]a ≥ 0[/latex] е дадено число. В този случай записваме [latex]x=a[/latex] и четем „хикс е равно на корен квадратен от [latex]a[/latex]“.
КВАДРАТЕН КОРЕН
Квадратен корен на неотрицателното число [latex]a[/latex] е такова неотрицателно число [latex]x[/latex], чийто квадрат е равен на [latex]a[/latex].
[latex]x=\sqrt{a}\Leftrightarrow x\ge 0[/latex] и [latex]x^2 = a[/latex]
Знакът [latex]\sqrt{\; \;}[/latex] се нарича радикал.
Числото, което се намира под радикала, се нарича подкоренна величина.
Намирането на числото [latex]x[/latex] се нарича коренуване.
Операцията коренуване е обратна на операцията степенуване.
За всяко неотрицателно число [latex]a[/latex] е изпълнено равенството [latex]\sqrt{a^2}=a[/latex].
За произволно число [latex]a[/latex] е вярно равенството [latex]\sqrt{a^2}=\lvert a\vert[/latex].
1. Пресметнете квадратните корени.
а) [latex]\sqrt{4}\quad[/latex] б) [latex]\sqrt{9}\quad[/latex] в) [latex]\sqrt{49}\quad[/latex] г) [latex]\sqrt{\frac{16}{25}}[/latex]
Решение: а) Тъй като [latex]2^2= 4[/latex], то [latex]\sqrt{4}=2[/latex].
б) От [latex]3^2= 9[/latex] следва, че [latex]\sqrt{9}=3[/latex].
в) [latex]\sqrt{49}=\sqrt{7^2}=7[/latex] г) [latex]\sqrt{\frac{16}{25}}=\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^2}=\frac{4}{5}[/latex]
Има две числа, които удовлетворяват уравнението [latex]x^2=4[/latex].
Това са числата [latex]2[/latex] и [latex]–2[/latex].
Прието е, че когато се пресмята квадратен корен, винаги трябва да се избира положителното число.
Задачи
4. Запишете:
а) естествено число;
б) цяло число, което не е естествено;
в) рационално число, което не е цяло;
г) ирационално число.