17. Делене на отсечка в дадено отношение
Триъгълникът и трапецът са едни от основните геометрични фигури. Въпреки че има само три върха и три страни, триъгълникът притежава много забележителни свойства. Едно от тях е открито от Ойлер и носи неговото име – окръжност на Ойлер, или окръжност на деветте точки.
В произволен триъгълник [latex]ABC[/latex] са построени трите височини [latex]AA_1[/latex], [latex]BB_1[/latex] и [latex]CC_1[/latex]. Тогава следните девет точки лежат на една окръжност:
* точките [latex]A_1[/latex], [latex]B_1[/latex] и [latex]C_1[/latex];
* средите на страните [latex]AB[/latex], [latex]BC[/latex] и [latex]CA[/latex];
* средите на отсечките [latex]AH[/latex], [latex]BH[/latex] и [latex]CH[/latex].
Точките [latex]N, A, M[/latex] и [latex]B[/latex] са върху права [latex]a[/latex] и [latex]NA = 1[/latex] cm, [latex]AM = 5[/latex] cm, [latex]BM = 15[/latex] cm.
ОТНОШЕНИЕ НА ДВЕ ОТСЕЧКИ
Отношение на две отсечки се нарича отношението на дължините им, които са измерени с еднакви мерни единици.
Отношението на отсечките [latex]AN[/latex] и [latex]AM[/latex] записваме така: [latex]AN : AM = 1 : 5[/latex] или [latex]\frac{AN}{AM}=\frac{1}{5}[/latex].
Така например отношенията [latex]NA : AB[/latex] и [latex]AM : BM[/latex] са равни съответно на [latex]1:20[/latex] и [latex]1:3[/latex].
По условие точката [latex]M[/latex] е разположена между точките [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex], т.е. е вътрешна за отсечката [latex]AB[/latex]. В този случай казваме, че
[latex]M[/latex] дели вътрешно [latex]AB[/latex] в отношение [latex]1:3[/latex], считано от точка [latex]A[/latex], и записваме [latex]\frac{AM}{MB}=\frac{1}{3}[/latex]
или [latex]M[/latex] дели вътрешно [latex]AB[/latex] в отношение [latex]3:1[/latex], считано от точка [latex]B[/latex], и записваме [latex]\frac{BM}{AM}=\frac{3}{1}[/latex].
По условие точката [latex]N[/latex] е разположена преди точките [latex]A[/latex] и [latex]B[/latex], т.е. е външна за отсечката [latex]AB[/latex]. В този случай казваме, че [latex]N[/latex] дели външно [latex]AB[/latex] в отношение [latex]1:21[/latex], и записваме
[latex]\frac{NA}{NB}=\frac{1}{21}[/latex].
1. Точка [latex]M[/latex] е средата на отсечка [latex]AB[/latex]. Постройте точка [latex]N[/latex] така, че [latex] \overrightarrow{NB}=3\overrightarrow{NA}[/latex], и намерете отношението [latex]\frac{BM}{NM}[/latex].
Решение: За построяването на точка [latex]N[/latex] използваме, че [latex]\overrightarrow{NB}[/latex] и [latex] \overrightarrow{NA}[/latex] са еднопосочни и [latex]\lvert\overrightarrow{NB}\rvert=3\lvert\overrightarrow{NA}\rvert[/latex].
Означаваме [latex]NA = x[/latex] и [latex]NB = 3x[/latex]. Тогава [latex]AB = 2x[/latex]. От това, че [latex]M[/latex] е средата на [latex]AB[/latex], следва, че [latex]AM = x = BM[/latex], и търсеното отношение е [latex]\frac{BM}{NM}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}[/latex].
2. Точките [latex]N, A, M[/latex] и [latex]B[/latex] са върху права [latex]a[/latex] и [latex]M[/latex] дели вътрешно отсечката [latex]AB[/latex] в отношение [latex]1:2[/latex], считано от [latex]A[/latex], а [latex]B[/latex] дели външно отсечката [latex]AN[/latex] в отношение [latex]BN : BA = 2:3[/latex]. Докажете, че [latex]M[/latex] и [latex]N[/latex] съвпадат.
Решение: Щом [latex]M[/latex] дели вътрешно отсечката [latex]AB[/latex] в отношение [latex]1:2[/latex], считано от [latex]A[/latex], то [latex]\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}[/latex] и ако [latex]AM = x[/latex], то [latex]AB = 3x[/latex]. Тогава от [latex]\frac{BN}{BA}=\frac{2}{3}\Rightarrow BN=\frac{2}{3}\cdot 3x=2x[/latex]
Но [latex]N[/latex] е вътрешна точка за отсечката [latex]AB[/latex] ([latex]B[/latex] дели външно отсечката [latex]AN[/latex]) и
[latex]\frac{AN}{NB}=\frac{AB-NB}{NB}=\frac{3x-2x}{2x}=\frac{1}{2}[/latex].
Така получаваме, че
[latex]\frac{AM}{MB}=\frac{1}{2}=\frac{AN}{NB}\Rightarrow M\equiv N[/latex].
Тук използвахме една важна теорема.
Теорема. Ако точка [latex]M[/latex] дели дадена отсечка [latex]AB[/latex] в дадено отношение, считано от [latex]A[/latex], то точката [latex]M[/latex] е единствена.
Задачи
Допълнителна задача