10. Вектор

Разстоянието от Ахтопол до Варна по права линия е [latex]125[/latex] km. Това разстояние бихме могли да начертаем в тетрадките си като отсечка, например с дължина [latex]12{,}5[/latex] cm. Ако искаме да покажем, че освен дължината на отсечката ни интересува и посоката, в която ще я изминем (дали от Ахтопол към Варна, или обратно), то на тази отсечка ще дадем и посока.

ВЕКТОР

Отсечка, единият край на която е избран за първи (начало), а другият за втори (край), наричаме насочена отсечка или вектор.

Вектор [latex]AB[/latex] (насочена отсечка [latex]AB[/latex] с начало точка [latex]A[/latex] и край – точка [latex]B[/latex]) ще означаваме като [latex]\overrightarrow{AB}[/latex]. При означението може да използваме и [latex]\overrightarrow{a}[/latex].
Дължината на вектор [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] е равна на дължината на отсечката [latex]AB[/latex] и я означаваме с [latex]\lvert{\overrightarrow{AB}}\rvert[/latex] .
Вектор с начало и край една и съща точка, т.е. [latex]\overrightarrow{NN}[/latex] се нарича нулев вектор и се означава с [latex]\overrightarrow{o}[/latex]. Неговата дължина е 0.

Всеки вектор има дължина и посока. В зависимост от посоката векторите могат да бъдат:
Еднопосочни          


Противопосочни     

Разнопосочни        

Ако два вектора са еднопосочни или противопосочни, те се наричат успоредни (колинеарни) вектори.
Еднопосочните и противопосочните вектори лежат на една и съща права или върху успоредни прави.

Ако [latex]\overrightarrow{a}[/latex] и [latex]\overrightarrow{b}[/latex]
са еднопосочни,
записваме
[latex]\overrightarrow{a}\uparrow\uparrow \overrightarrow{b}[/latex].

Ако [latex]\overrightarrow{a}[/latex] и [latex]\overrightarrow{b}[/latex]
са противопосочни,
записваме
[latex]\overrightarrow{a}\uparrow\downarrow \overrightarrow{b}[/latex].

В зависимост от дължината си векторите са с равни дължини или с различни дължини.

Векторите [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{CD}[/latex] са с равни дължини, когато отсечките [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex] имат равни дължини.
Векторите [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{CD}[/latex] са с различни дължини, когато отсечките [latex]AB[/latex] и [latex]CD[/latex] имат различни дължини.

Два вектора [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{CD}[/latex] са равни, когато са едноопосочни
и имат равни дължини.
Записваме [latex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}[/latex].

Два вектора [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{CD}[/latex] са 
противоположни, когато са противопосочни и имат равни дължини. Записваме [latex]\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}[/latex].

Задача. Даден е успоредник [latex]ABCD[/latex]. Намерете вектор, който:
а) е равен на вектора [latex]\overrightarrow{AB}[/latex];
б) е противоположен на вектора [latex]\overrightarrow{BC}[/latex].
Решение:
а) Тъй като [latex]ABCD[/latex] е успоредник, то [latex]AB=DC[/latex] и [latex]AB[/latex] е успоредна на [latex]DC[/latex].
Това означава, че векторите [latex]\overrightarrow{AB}[/latex] и [latex]\overrightarrow{DC}[/latex] са равни, т.е. [latex]\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}[/latex].
б) Отсечката [latex]DA[/latex] е равна и успоредна на отсечката [latex]BC[/latex].
Следователно векторите [latex]\overrightarrow{DA}[/latex] и [latex]\overrightarrow{BC}[/latex] са с равни дължини и противоположни посоки, т.е. [latex]\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}[/latex].

Задачи

1. На чертежите са построени векторите [latex]\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}, \overrightarrow{d}, \overrightarrow{e}, \overrightarrow{f},\overrightarrow{g}[/latex] и [latex]\overrightarrow{h}[/latex].
а) Посочете кои двойки вектори са противопосочни и кои са еднопосочни.
б) Има ли равни или противоположни вектори?