6. Умножение и събиране на възможности
Комбинаториката е част от математиката. Тя изучава правилата за преброяване на обекти с дадени свойства.
Основоположник на съвременната комбинаторика е Леонард Ойлер.
(1707г. – 1783г.)
Той е роден в Базел, Швейцария и е е смятан за един от най-великите математици на XVIII век.
Има значителен принос и във физиката, както и в астрономията.
Често се налага да броим различни възможности. Например:
- Колко са трицифрените числа?
- По колко начина можем да подредим 5 книги в редица?
- По колко начина от група от 6 ученици можем да изберем двама?
Обикновено преброяването става, като запишем всички възможности, които ни интересуват, след което ги броим. Често обаче възможностите, които броим, са толкова много, че трудно можем да ги запишем. Вместо това по-лесно е да използваме правила за броене.
1. За участие в състезание от клас с 12 момчета и 14 момичета трябва да се изберат двама – момче и момиче. По колко различни начина може да стане това?
Решение:
Момчето може да се избере по 12 начина. При всеки избор на момчето за избор на момичето има 14 възможности. Следователно двойката момче – момиче може да се избере по 12.14 = 168 начина.
При решаването на тази задача използвахме правилото за умножение на възможности.
Правило за умножение на възможности
Ако за избор на елемент [latex]a[/latex] има [latex]m[/latex] възможности, а за избор на елемент [latex]b[/latex] има [latex]n[/latex] възможности, то за избор на двата елемента [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] има [latex]m\ .\ n[/latex] възможности.
2. От София до Бургас може да се пътува с влак, автобус, автомобил или самолет.
От Бургас до Созопол може да се пътува с автомобил или автобус. По колко различни начина може да се стигне от София до Созопол, като се мине през Бургас?
2. От София до Бургас може да се пътува с влак, автобус, автомобил или самолет.
От Бургас до Созопол може да се пътува с автомобил или автобус. По колко различни начина може да се стигне от София до Созопол, като се мине през Бургас?
Решение:
Пътят от София до Созопол се състои от две части: София – Бургас и Бургас – Созопол.
За първата част от пътя има 4 възможности: влак, автобус, автомобил или самолет.
За втората част от пътя има две възможности: автомобил или автобус.
От правилото за умножение на възможности следва, че броят на търсените възможности е 4.2 = 8.
Решението на задача 2 може да се представи графично.
Получената схема се нарича граф-дърво.
Правилото за умножение на възможности е в сила и когато трябва да избираме повече от два елемента.
3. Колко са:
а) трицифрените числа;
б) четирицифрените числа, които се делят на 5?
3. Колко са:
а) трицифрените числа;
б) четирицифрените числа, които се делят на 5?
Решение:
а) Първата цифра на всяко число не може да бъде нула. Следователно първата цифра на едно трицифрено число може да бъда всяка от цифрите 1, 2, 3, …, 9.
За втората цифра няма никакви ограничения – тя може да бъде всяка от цифрите 0, 1, 2, …, 9. Това означава, че втората цифра може да бъде избрана по 10 начина. Същото важи и за третата цифра – тя може да бъде избрана по 10 начина. За да получим броя на всички трицифрени числа, умножаваме възможностите за първата, втората и третата цифра и получаваме: 9.10.10 = 900. Следователно трицифрените числа са 900.
б) За първата цифра има 9 възможности. За втората и третата цифра има по 10 възможности. Четвъртата цифра е 0 или 5. Търсеният брой е: 9.10.10.2 = 1800.
Правило за събиране на възможности
Ако елемент [latex]a[/latex] може да се избере от една група по [latex]m[/latex] начина, а от друга група по [latex]n[/latex] начина, то този елемент може да се избере по [latex]m + n[/latex] начина.
4. По колко различни начина от групите 2, 6, 35, 128 и 8, 11, 26, 103 можем да изберем едно четно число?
4. По колко различни начина от групите 2, 6, 35, 128 и 8, 11, 26, 103 можем да изберем едно четно число?
Решение: В първата група има три четни числа – 2, 6 и 128. Следователно от първата група можем да изберем четно число по 3 начина. От втората група можем да изберем четно число по 2 начина. От правилото за събиране на възможности следва, че общо от двете групи можем да изберем четно число по 3 + 2 = 5 начина.
Задачи