1. Формули за съкратено умножение
Формулите за съкратено умножение се използват за тъждествени преобразувания на изрази. Чрез тъждествени преобразувания даден израз може да се приведе в нормален вид, да се разложи на множители или да се представи във вид, удобен за пресмятане на числена стойност.
Формули за съкратено умножение
[latex](a+b)^2=a^2+2ab+b^2[/latex]
[latex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2[/latex]
[latex](a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3[/latex]
[latex](a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3[/latex]
Задача 1. Запишете в нормален вид.
а) [latex](2+x)^2[/latex]
б) [latex](x-3)^3[/latex]
в) [latex](7-2x)^2[/latex]
г) [latex](2x+5)^3[/latex]
Решение: Прилагаме формулите за съкратено умножение, след което привеждаме в нормален вид.
а) [latex](2+x)^2=2^2+2.2.x+x^2=4+4x+x^2=x^2+4x+4[/latex]
б) [latex](x-3)^3=x^3-3.x^2.3+3.x.3^2-x^3=x^3-9x+27x-27[/latex]
в) [latex](7-2x)^2=7^2-2.7.(2x)+(2x)^2=4x^2-28x+49[/latex]
г) [latex](2x+5)^3=(2x)^3+3.(2x)^2.5+3.2x.5^2+5^3=8x^3+60x^2+150x+125[/latex]
Задача 2. Пресметнете стойността на израза
[latex]a^3+a^2+3a^2b+3ab^2-2ab+b^3+b^2[/latex],
ако [latex]a = -3{,}5[/latex] и [latex]b = 1{,}5[/latex].
Решение: Преобразуваме дадения израз:
[latex]a^3+a^2+3a^2b+3ab^2-2ab+b^3+b^2=[/latex]
[latex]=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3+a^2-2ab+b^2=(a+b)^3+(a-b)^2[/latex],
след което пресмятаме [latex]a+b=-2[/latex] и [latex]a-b=-5[/latex].
Търсената стойност е: [latex](-2)^3+(-5)^2=17[/latex].
Формули за съкратено умножение
[latex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/latex]
[latex]a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)[/latex]
[latex]a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)[/latex]
Задача 2. Разложете на множители израза.
а) [latex]a^2-b^2+a-b[/latex]
б) [latex]a^3+a^2-b^3-b^2[/latex]
в) [latex]a^3+b^3-a(a+b)^2[/latex]
Решение:
а) Използваме равенството [latex]a^2-b^2=(a-b)(a+b)[/latex] и получаваме:
[latex]a^2-b^2+a-b=(a-b)(a+b)+a-b=(a-b)(a+b+1)[/latex].
б) Преобразуваме израза, като групираме третите и вторите степени, след което използваме формулите за съкратено умножение:
[latex]a^3+a^2-b^3-b^2=a^3-b^3+a^2-b^2=[/latex]
[latex]=(a-b)(a^2+ab+b^2)+(a-b)(a+b)=(a-b)(a^2+ab+b^2+a+b)[/latex].
в) Изнасяме множител [latex]a + b[/latex]:
[latex]a^3+b^3-a(a+b)^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)-(a+b)(a^2+ab)=[/latex]
[latex]=(a+b)(a^2-ab+b^2-a^2-ab)=(a+b)(b^2-2ab)=b(a+b)(b-2a)[/latex].
Задачи
1. Приведете в нормален вид многочлена.
а) [latex](6-x)^2+(3+x)^3[/latex]
б) [latex](x-1)^3-x(4-x)^2[/latex]
Отговори:
а) [latex]x^3+10x^2+15x+63[/latex]
б) [latex]5x^2-13x-1[/latex]
2. Представете като втора или трета степен на двучлен.
а) [latex]81+18x+x^2[/latex]
б) [latex]8y^3-12y^2+6y-1[/latex]
в) [latex]a^2b^2-4ab+4[/latex]
г) [latex]27z^3+27z^2+9z+1[/latex]
Отговори:
а) [latex](x+9)^2[/latex]
б) [latex](2y-1)^2[/latex]
в) [latex](ab-2)^2[/latex]
г) [latex](3z+1)^2[/latex]
3. Разложете на множители.
а) [latex]x^3 - x^2 + x - 1[/latex]
б) [latex]x^2 + x - y^2 - y[/latex]
в) [latex]a^2 + ab + (a+b)^2[/latex]
г) [latex]a^2 + a^3b - ab^2 - b[/latex]
Отговори:
а) [latex](x-1)(x^2+1)[/latex]
б) [latex](x-y)(x+y+1)[/latex]
в) [latex](a+b)(2a+b)[/latex]
г) [latex](1+ab)(a^2-b)[/latex]
4. Пресметнете стойността на израза:
а) [latex]\frac{1}{8}x^3-3x^2+24x-64[/latex] при [latex]x=\frac{2}{7}[/latex]
б) [latex]\frac{1}{27}x^3+\frac{1}{4}x^2y+\frac{9}{16}xy^2+\frac{27}{64}y^3[/latex] при [latex]x=\frac{3}{4}[/latex] и [latex]y=-\frac{1}{3}[/latex]
Отговори:
а) [latex]\left(-\frac{27}{7}\right)^3[/latex]
или [latex]\left(-3\frac{6}{7}\right)^3[/latex]
б) [latex]0[/latex]
5*. Разложете на множители.
а) [latex]x^3 – x^2y+y^2x-y^3 + x – y[/latex]
б) [latex]x^2 + 5x+6 [/latex]
в) [latex]2x^2 + x-1 [/latex]
г) [latex]z^3 + 6z^2+11z+6[/latex]
Отговори:
а) [latex](x-y)(x^2+y^2+1)[/latex]
б) [latex](x+2)(x+3)[/latex]
в) [latex](x+1)(2x-1)[/latex]
г) [latex](z+1)(z+2)(z+3)[/latex]