Уравнения от типа
ax + b = 0
ax + b = 0
Задача 1.
Да се реши уравнението.
а) [latex]x^2-3x-8=x(1+x)[/latex];
б) [latex]x^2-3x-8-x(-3+x)=0[/latex];
в) [latex]x^2-3x-8+x(3-x)=-8[/latex].
Решение. а) Преобразуваме даденото уравнение [latex]x^2-3x-8=x(1+x)\Leftrightarrow[/latex] [latex] x^2-3x-8=x+x^2\Leftrightarrow -4x-8=0\Leftrightarrow[/latex] [latex] -4x=8\Leftrightarrow x=-2[/latex].
Така получаваме, че корена на уравнението е [latex]-2[/latex].
б) Преобразуваме лявата страна [latex]x^2-3x-8-x(-3+x)=[/latex] [latex]x^2-3x-8+3x-x^2=-8[/latex]. Така достигаме до невярно числово равенство [latex]-8=0[/latex], т.е. [latex]0.x-8=0\Leftrightarrow 0.x=8[/latex]. От получения резултат правим извода, че няма числена стойност, с която да заместим [latex]x[/latex] и да получим вярно числово равенство, защото за всяко число [latex]x[/latex] е вярно, че [latex]0.x=0[/latex] . В такава ситуация казваме, че уравнението няма решение и записваме [latex]x\in \varnothing [/latex].
в) След преобразуване на лявата страна на уравнението получаваме
[latex]x^2-3x-8+x(3-x)=[/latex] [latex]x^2-3x-8+3x-x^2=-8[/latex]. Достигаме до вярно числово равенство [latex]-8=-8[/latex] , т.е. [latex]0.x-8=-8\Leftrightarrow 0.x=0[/latex]. Знаем, че това е вярно за всяка числена стойност на [latex]x[/latex]. В тази ситуация казваме, че всяко рационално число [latex]x[/latex] е решение на уравнението и записваме [latex] x\in\mathbb{Q} [/latex].
Уравнение от вида [latex]ax+b=0[/latex] се нарича линейно уравнение с коефициенти [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] ([latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] са числа, а [latex]x[/latex] е неизвестно). То е еквивалентно на уравнението [latex]ax =-b[/latex] . Решенията му се намират по различен начин в зависимост от стойностите на коефициентите [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex].
- Ако [latex]a\neq 0[/latex], умножаваме двете страни на уравнението с [latex]\frac{1}{a}[/latex] и получаваме [latex]x=-\frac{b}{a}[/latex].
- Ако [latex]a=0[/latex], уравнението има вида [latex]0.x+b=0\Leftrightarrow 0.x=-b[/latex].
- Ако [latex]b\neq 0[/latex], уравнението няма решение, т.е [latex]x\in \varnothing [/latex].
- Ако [latex]b=0[/latex], уравнението е еквивалентно на [latex]0.x=0[/latex] и всяко рационално число е корен на това уравнение [latex]\Rightarrow x\in\mathbb{Q} [/latex]. От направените разсъждения следва извода, че уравнението [latex]ax+b=0[/latex] или има единствен корен, или няма решение, или всяко число е негов корен, т.е. има безброй много решения.
Уравненията [latex]2x-1=0;\;3x+5=0;\;-2x+5=0;\;5x+0=0;[/latex] [latex]\;0.x+7=0;\;0.x=0[/latex] са линейни уравнения.
Задача 2.
Намерете стойността на коефициента [latex]b[/latex], за която уравнението [latex]-2x+b=0[/latex] има корен числото [latex]7[/latex].
Намерете стойността на коефициента [latex]b[/latex], за която уравнението [latex]-2x+b=0[/latex] има корен числото [latex]7[/latex].
Решение. За да бъде числото [latex]7[/latex] корен на уравнението трябва като заместим [latex]x[/latex] със [latex]7[/latex] да получим вярно числово равенство. Така достигаме до уравнението [latex]-2.7+b=0\Leftrightarrow b=14[/latex]. Следователно при [latex]b=14[/latex] даденото уравнение има корен [latex]7[/latex].
Задача 3.
Да се реши уравнението:
a) [latex]\frac{x-5}{2}-\frac{3-x}{3}=\frac{5x-12}{6}[/latex];
б) [latex](2x-1)(x+3)=2x(x+2{,}5)[/latex].
Решение. a) [latex]\frac{x-5}{2}-\frac{3-x}{3}=\frac{5x-12}{6}\mid .6[/latex] [latex]\Leftrightarrow 3x-15-6+2x=5x-12\Leftrightarrow 0x=9[/latex]. Така получаваме, че уравнението няма решение, т.е. [latex]x\in \varnothing [/latex].
б) [latex](2x-1)(x+3)=2x(x+2{,}5)\Leftrightarrow[/latex] [latex]2x^2+5x-3=2x^2+5x\Leftrightarrow 0x=3[/latex].
За това уравнение също достигаме до извода, че няма решение [latex]\Rightarrow x\in \varnothing [/latex].
Получаваме, че и двете уравнения нямат решение, т.е. множеството от решения
и на двете уравнения е празното множество.
Понякога и за такива уравнения казваме, че са еквивалентни.